Especifique, para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente nos reais:
Passo 1
O enunciado pede para dizer se a função é crescente ou decrescente em todos os reais. A função dada é
. Informação relevante fornecida:
- A função é uma função afim (linear) do tipo
com e . - Quer-se a monotonicidade (crescente/decrescente) em
.
Passo 2
Definição de crescente/decrescente (forma precisa e simples).
- Dizemos que uma função
é estritamente crescente em um conjunto se, para quaisquer desse conjunto com , vale . - Dizemos que é estritamente decrescente se, para quaisquer
com , vale .
Vou usar a definição com diferençasporque permite um teste direto e elementar.
Passo 3
Teste algébrico direto usando a definição. Seja
com
. Então:
Como
(porque
) e
, o produto
é positivo. Portanto
, isto é
sempre que
. Conclusão: a função é estritamente crescente em
.
Passo 4
Argumento alternativo (derivada) — útil para funções mais gerais. A derivada mede a taxa de variação instantânea: se
para todo
então
é crescente.
- Calcular a derivada de
:
Como
para todo
, isso confirma que
é estritamente crescente em
.
Passo 5
Intuição e exemplo rápido para memorizar. Uma função linear
:
- se
então é crescente; - se
então é decrescente; - se
então é constante.
No nosso caso, então crescente. Exemplo paralelo: tem e é decrescente.
Passo 6
Dica de prova em prova: para funções lineares a checagem via sinal do coeficiente angular
é a maneira mais rápida. Se preferir, fazer como no Passo 3 (diferença entre valores) é totalmente seguro e não usa cálculo.
Resposta
A função
é estritamente crescente em
.