Especifique, para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente nos reais:
y=3 x

Passo 1

O enunciado pede para dizer se a função é crescente ou decrescente em todos os reais. A função dada é y=3x. Informação relevante fornecida:
  • A função é uma função afim (linear) do tipo y=ax+b com a=3 e b=0.
  • Quer-se a monotonicidade (crescente/decrescente) em \mathbb{R}.

Passo 2

Definição de crescente/decrescente (forma precisa e simples).
  • Dizemos que uma função f é estritamente crescente em um conjunto se, para quaisquer x_1,x_2 desse conjunto com x_1<x_2, vale f(x_1)<f(x_2).
  • Dizemos que é estritamente decrescente se, para quaisquer x_1,x_2 com x_1<x_2, vale f(x_1)>f(x_2).
    Vou usar a definição com diferenças f(x_2)-f(x_1) porque permite um teste direto e elementar.

Passo 3

Teste algébrico direto usando a definição. Seja x_1,x_2\in\mathbb{R} com x_1<x_2. Então:
f(x_2)-f(x_1)=3x_2-3x_1=3(x_2-x_1).
Como x_2-x_1>0 (porque x_2>x_1) e 3>0, o produto 3(x_2-x_1) é positivo. Portanto f(x_2)-f(x_1)>0, isto é f(x_2)>f(x_1) sempre que x_2>x_1. Conclusão: a função é estritamente crescente em \mathbb{R}.

Passo 4

Argumento alternativo (derivada) — útil para funções mais gerais. A derivada mede a taxa de variação instantânea: se f'(x)>0 para todo x então f é crescente.
  • Calcular a derivada de f(x)=3x:
f'(x)=3.
Como f'(x)=3>0 para todo x\in\mathbb{R}, isso confirma que f é estritamente crescente em \mathbb{R}.

Passo 5

Intuição e exemplo rápido para memorizar. Uma função linear y=ax+b:
  • se a>0 então é crescente;
  • se a<0 então é decrescente;
  • se a=0 então é constante.
    No nosso caso a=3>0, então crescente. Exemplo paralelo: y=-2x tem a=-2<0 e é decrescente.

Passo 6

Dica de prova em prova: para funções lineares a checagem via sinal do coeficiente angular a é a maneira mais rápida. Se preferir, fazer como no Passo 3 (diferença entre valores) é totalmente seguro e não usa cálculo.

Resposta

A função y=3x é estritamente crescente em \mathbb{R}.

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