Considere a função horária de um MHS expressa por
Admitindo que a posição e velocidade inicial são dadas por
e
. Mostre que a amplitude e a fase inicial são dadas por
Passo 1
O enunciado nos dá a função horária de um MHS:
e informa as condições iniciais:
- posição inicial:
; - velocidade inicial:
.
O que se pede mostrar:
- que a amplitude é
; - que a fase inicial é
.
Passo 2
Primeiro escrevo as expressões de posição e velocidade no instante
. Avaliando
em
:
Agora obtenho a velocidade geral fazendo a derivada temporal de
. Lembrando que a derivada de
é
e, pelo efeito da cadeia, multiplica-se por
. Assim:
Avaliando em
:
Passo 3
Agora temos duas relações simples ligando
a
:
A ideia para achar
é usar a identidade trigonométrica
. Isolo
e
em termos de
:
Passo 4
Aplicando
com as expressões acima:
Desenvolvendo:
Multiplico tudo por
:
Tomando raiz positiva (amplitude é não negativa) obtemos a fórmula pedida:
Passo 5
Para achar
uso as expressões diretas para
e
. A tangente é
. Substituindo:
Logo
Passo 6
A expressão acima diz que
é um ângulo cuja tangente vale
. Usando a função inversa da tangente:
Como a tangente é uma função ímpar, vale
. Portanto pode-se escrever equivalently
Observação importante para prova/prática: a forma
aparece frequentemente porque a escolha do sinal da fase inicial tem ambiguidade de
(quadrantes). Para evitar erro de quadrante na hora da prova, é mais seguro usar a forma com sinal explícito obtida das expressões de
e
e, quando disponível, a função
:
que determina corretamente o quadrante a partir dos sinais de
e
. Ainda assim, escrevendo a resposta no formato pedido (adotando a convenção de sinal apropriada ou a escolha de ramo da arctan) obtemos a forma solicitada.