Admitindo-se \rho=\rho_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}=998,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mathrm{g}=9,785 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} para as bombas, e \rho=\rho_{a r}=1,1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} para os ventiladores, calcule a potência hidráulica, no SI de unidades, para as MF geradoras que apresentam as seguintes características no ponto de rendimento total máximo:
\Delta p_{T}=1200 \mathrm{~Pa}, \dot{V}=4 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} e n=1750 \mathrm{rpm} (Ventilador).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência hidráulica no SI para um equipamento do tipo ventilador (MF geradora) nas condições do ponto de rendimento total máximo. Dados fornecidos:
\Delta p_{T}=1200\\ \mathrm{Pa} (diferença de pressão total),
\dot{V}=4\\ \mathrm{m^{3}/s} (vazão volumétrica),
n=1750\\ \mathrm{rpm} (velocidade, informação fornecida mas não necessária para a potência hidráulica),
densidade do ar usada para ventiladores \rho_{\text{ar}}=1,1\\ \mathrm{kg/m^{3}},
aceleração da gravidade g=9,785\\ \mathrm{m/s^{2}} (fornecida para bombas; vale também para cálculos que envolvam cabeça hidráulica).

Passo 2

Conceito e fórmula básica: potência hidráulica é a taxa de energia fornecida ao fluido pela máquina. Quando a máquina proporciona uma diferença de pressão \Delta p e faz passar um volume por unidade de tempo \dot{V}, a potência hidráulica é dada por
P_{h}=\dot{V}\,\Delta p.
Explicação física curta e intuitiva: pressão tem dimensão de energia por volume (Pa = J/m³). Multiplicando energia por volume ( \Delta p) pela vazão ( \dot V) obtemos energia por tempo, isto é, potência. Verificação dimensional:
\mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m^{3}/s}=\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m^{2}}}\cdot\frac{\mathrm{m^{3}}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{N\cdot m}}{\mathrm{s}}=\mathrm{W}.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os valores dados (ventilador):
P_{h}=\dot{V}\,\Delta p = 4\\ \mathrm{m^{3}/s}\times 1200\\ \mathrm{Pa}.
Fazendo a conta:
P_{h}=4800\\ \mathrm{W}.
Convertendo para quilowatts:
P_{h}=4,8\\ \mathrm{kW}.

Passo 4

Verificação alternativa (mesma resposta, só para entender a relação com a “carga” em metros de coluna – cabeça hidráulica): podemos escrever \Delta p=\rho g H, onde H é a cabeça equivalente em metros. Assim
H=\frac{\Delta p}{\rho g}.
Usando \rho=\rho_{\text{ar}}=1,1\\ \mathrm{kg/m^{3}} e g=9,785\\ \mathrm{m/s^{2}},
H=\frac{1200}{1,1\cdot 9,785}\approx 111,5\\ \mathrm{m}.
E então
P_{h}=\rho g \dot{V} H,
que, ao substituir os valores, retorna o mesmo valor numérico de potência:
P_{h}=1,1\cdot 9,785\cdot 4\cdot 111,5\approx 4800\\ \mathrm{W}.
Isso mostra que a fórmula P_{h}=\dot{V}\Delta p é consistente com a forma clássica \rho g Q H.

Passo 5

Resumo prático para a prova: se te derem \Delta p em Pa e \dot V em \mathrm{m^{3}/s}, multiplica direto para obter P_{h} em W. Confere sempre unidades. Força extra: você pode também transformar \Delta p em cabeça H usando H=\Delta p/(\rho g) se a questão pedir valores em metros de coluna.

Resposta

\;4800\\ \mathrm{W}=4,8\\ \mathrm{kW}

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