Admitindo-se \rho=\rho_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}=998,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mathrm{g}=9,785 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} para as bombas, e \rho=\rho_{a r}=1,1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} para os ventiladores, calcule a potência hidráulica, no SI de unidades, para as MF geradoras que apresentam as seguintes características no ponto de rendimento total máximo:
\Delta p_{T}=2345 \mathrm{~Pa}, \dot{V}=0,78 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} e n=3000 \mathrm{rpm} (Ventilador).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi informado):
\Delta p_{T}=2345\\ \mathrm{Pa} (a elevação de pressão total),
\dot{V}=0,78\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} (vazão volumétrica),
n=3000\\ \mathrm{rpm} (velocidade de rotação, fornecida mas que não será necessária para a potência hidráulica direta).
Também foram fornecidos os parâmetros físicos a serem considerados: \rho_{ar}=1,1\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} (densidade do ar) e g=9,785\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
O que o problema pede: calcular a potência hidráulica, no SI de unidades, para essa MF geradora (ventilador) no ponto dado.

Passo 2

Qual fórmula usar? A relação direta e mais simples entre pressão, vazão e potência é
P_{h}=\Delta p_{T}\,\dot{V}.
Explicando essa fórmula de forma simples e intuitiva: pressão é energia por unidade de volume. Mais formalmente, 1\\ \mathrm{Pa}=1\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}. Se você multiplica pressão ( \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}) por um volume por segundo ( \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}), obtém \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s}, que é Joule por segundo, ou seja Watt. Portanto \Delta p_{T}\,\dot{V} dá potência em watts.
Definições das variáveis:
\;P_{h} = potência hidráulica (W),
\;\Delta p_{T} = aumento de pressão total (Pa),
\;\dot{V} = vazão volumétrica (m ^3/s).

Passo 3

Só para você ver outra forma equivalente (e porque o enunciado forneceu \rho e g): em hidráulica costuma-se usar cabeça H (em metros) e a fórmula
P_{h}=\rho\,g\,\dot{V}\,H.
Essas duas fórmulas são consistentes porque a cabeça é definida por
H=\frac{\Delta p_{T}}{\rho\,g},
logo substituindo em \rho g \dot V H cancelam \rho g e sobra \Delta p_{T}\dot V. Vou usar a forma direta \Delta p_{T}\dot V (mais simples numericamente).

Passo 4

Agora calculamos numericamente \;P_{h}=\Delta p_{T}\,\dot{V}. Substituindo os valores:
P_{h}=2345\\ \mathrm{Pa}\times 0,78\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Faço a multiplicação “na mão” de forma explicada:
2345\times 0,78=2345\times(0,8-0,02)=2345\cdot0,8-2345\cdot0,02.
Calcule cada termo:
2345\cdot0,8=1876,\qquad 2345\cdot0,02=46,9.
Subtraindo:
2345\times0,78=1876-46,9=1829,1.
Portanto
P_{h}=1829,1\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Conversão para quilowatts e arredondamento: em kW,
P_{h}= \frac{1829,1\\ \mathrm{W}}{1000}=1,8291\\ \mathrm{kW}.
Considerando a precisão dos dados (por exemplo \dot V=0,78 tem duas casas significativas), é razoável apresentar o resultado arredondado a três algarismos significativos:
P_{h}\approx1,83\\ \mathrm{kW}.
Observação final rápida e motivadora: repara que a velocidade de rotação n não entrou no cálculo — a potência hidráulica no ponto é dada pela combinação pressão × vazão. Se precisar relacionar com eficiência ou potência no eixo aí sim n e características da máquina entram.

Passo 6

Como verificação extra (opcional): calcular a cabeça H usando \rho_{ar} e g que o enunciado deu, para ver coerência:
H=\frac{\Delta p_{T}}{\rho_{ar}\,g}=\frac{2345}{1,1\cdot 9,785}\approx\frac{2345}{10,7635}\approx217,9\\ \mathrm{m}.
Se usarmos P_{h}=\rho g \dot V H com esses valores, obtemos o mesmo P_{h} (é a mesma identidade matemática), então está tudo consistente.

Resposta

P_{h}=1829,1\\ \mathrm{W}
P_{h}\approx1,83\\ \mathrm{kW}

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