Admitindo os vetores boldsymbol{A}=3 \boldsymbol{i}+7 \boldsymbol{j}-\boldsymbol{k} e boldsymbol{B}=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}. Determine
(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \cdot \boldsymbol{A}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} e pede o valor de (\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{A}. As informações relevantes são:
\boldsymbol{A}=3\boldsymbol{i}+7\boldsymbol{j}-\boldsymbol{k}
\boldsymbol{B}=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}
A pergunta é: calcule o produto escalar entre \boldsymbol{A} e o produto vetorial \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}, ou seja, encontre (\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{A}.

Passo 2

Vou passar para coordenadas cartesianas para manipular mais facilmente. Escrevendo componentes:
\boldsymbol{A}=(3,\,7,\,-1),\qquad \boldsymbol{B}=(1,\,-1,\,0).
Explicação didática do produto vetorial: o produto vetorial \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} é um vetor cujas componentes podem ser obtidas pela fórmula
\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\bigr),
onde \boldsymbol{A}=(a_1,a_2,a_3) e \boldsymbol{B}=(b_1,b_2,b_3). Intuição: \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} é perpendicular a ambos \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B}.

Passo 3

Agora aplico a fórmula do produto vetorial com a_1=3,\;a_2=7,\;a_3=-1 e b_1=1,\;b_2=-1,\;b_3=0.
Calculando cada componente:
\begin{aligned} \text{componente }x & = a_2b_3-a_3b_2 = 7\cdot 0 - (-1)\cdot(-1) = 0 - 1 = -1,\\[4pt] \text{componente }y & = a_3b_1-a_1b_3 = (-1)\cdot 1 - 3\cdot 0 = -1 - 0 = -1,\\[4pt] \text{componente }z & = a_1b_2-a_2b_1 = 3\cdot(-1) - 7\cdot 1 = -3 - 7 = -10. \end{aligned}
Logo
\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}=(-1,\,-1,\,-10)= -\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}-10\boldsymbol{k}.]

Passo 4

Explicação didática do produto escalar: o produto escalar entre dois vetores \boldsymbol{U}=(u_1,u_2,u_3) e \boldsymbol{V}=(v_1,v_2,v_3) é
\boldsymbol{U}\cdot\boldsymbol{V}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Geometricamente, o produto escalar mede a “projeção” de um sobre o outro; se \boldsymbol{U} for perpendicular a \boldsymbol{V}, então \boldsymbol{U}\cdot\boldsymbol{V}=0.

Passo 5

Agora calculo (\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{A} usando as componentes:
(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{A}=(-1)\cdot 3 + (-1)\cdot 7 + (-10)\cdot(-1).
Faço as contas passo a passo:
(-1)\cdot 3 = -3,
(-1)\cdot 7 = -7,
(-10)\cdot(-1)=+10.
Somando:
-3 + (-7) + 10 = -10 + 10 = 0.

Passo 6

Observação conceitual final (para fixar a ideia): o resultado zero já podia ser previsto porque \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} é perpendicular a \boldsymbol{A} (produto vetorial é ortogonal aos dois vetores), e o produto escalar entre vetores perpendiculares é zero. Portanto faz sentido que o cálculo dê zero.

Resposta

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