Um vetor boldsymbol{r} no plano x y tem 25 m de comprimento e faz um ângulo \theta=30^{\circ} \mathrm{com} o semieixo x positivo. Determine
a componente y do vetor.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Vetor \boldsymbol{r} no plano x y tem comprimento \;25\\ \text{m}.
  • O vetor faz um ângulo \theta = 30^\circ com o semieixo x positivo.
  • Pergunta: determinar a componente y do vetor \boldsymbol{r}.

Passo 2

Entendendo o que significa "componente y" e como obtê‑la (sem resolver ainda).
  • A componente y de um vetor é o comprimento da projeção do vetor na direção do eixo y.
  • Se desenharmos \boldsymbol{r} a partir da origem com ângulo \theta medido a partir do eixo x positivo, formamos um triângulo retângulo onde: \text{hipotenusa} = \text{comprimento do vetor} = \lVert \boldsymbol{r}\rVerte a componente y é o cateto oposto ao ângulo \theta.

Passo 3

Apresentando a fórmula que liga comprimento do vetor, ângulo e componente y.
  • Pela definição trigonométrica no triângulo retângulo, a razão seno relaciona o cateto oposto e a hipotenusa: \sin(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}.
  • Identificando: o cateto oposto é a componente y e a hipotenusa é \lVert \boldsymbol{r}\rVert. Logo a fórmula para a componente y é r_y = \lVert \boldsymbol{r}\rVert \sin(\theta).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso com \lVert \boldsymbol{r}\rVert=25\\ \text{m} e \theta=30^\circ.
  • Substituindo na fórmula: r_y = 25\\ \text{m}\cdot \sin(30^\circ).

Passo 5

Calcular \sin(30^\circ) de forma elementar (sem calculadora).
  • Um triângulo especial 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ tem razões dos lados iguais a 1:\sqrt{3}:2 (cateto oposto a 30^\circ = 1, cateto oposto a 60^\circ = \sqrt{3}, hipotenusa = 2).
  • Portanto \sin(30^\circ)=\frac{\text{cateto oposto a }30^\circ}{\text{hipotenusa}}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Fazer a multiplicação final e observar o sinal.
  • Substituindo \sin(30^\circ)=\tfrac{1}{2} em r_y: r_y = 25\\ \text{m}\cdot \frac{1}{2}=25\cdot\frac{1}{2}\\ \text{m}.
  • Calculando 25\cdot\tfrac{1}{2}=12{,}5. O resultado é positivo porque o ângulo 30^\circ é medido a partir do eixo x positivo na direção que dá componente y positiva.

Resposta

12{,}5\\ \text{m}

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