O vetor
possui componentes
cm .
; o vetor
possui componentes
. Ache a) as componentes da soma vetorial
b) o módulo e a direção de
c) as componentes da diferença vetorial
-
o módulo e a direção da diferença
.
10) Para os vetores
e
, determine
em termos de vetores unitários, (b) módulo e (c) ângulo (em relação a i). Determine
(d) em termos de vetores unitários (e) em módulo e (f) ângulo.
10) Para os vetores
Passo 1
Dados e o que se pede.
-
Para o primeiro exercício:
- Vetor
tem componentes e . - Vetor
tem componentes e . - Perguntas:
a) componentes de;
b) módulo e direção de;
c) componentes de;
d) módulo e direção de.
- Vetor
-
Para o exercício 10:
- Vetor
(ou seja, , ). - Vetor
(ou seja, , ). - Perguntas:
(a)em termos de vetores unitários;
(b) módulo de;
(c) ângulo deem relação a ;
(d)em termos de vetores unitários;
(e) módulo de;
(f) ângulo deem relação a .
- Vetor
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação passo a passo).
-
Componentes: um vetor no plano é representado pelas suas componentes
e . Se temos , então é a componente horizontal e a vertical. Os vetores unitários e apontam para os eixos e . -
Soma e subtração por componentes: para vetores com componentes conhecidas, fazemos as operações componente a componente:
Isso é porque vetores se somam “coordenada a coordenada”.
-
Módulo (comprimento) de um vetor: se
, então Essa fórmula vem do teorema de Pitágoras: o vetor forma um triângulo retângulo com catetose . -
Direção (ângulo) em relação ao eixo
( ): usamos a tangente Atenção: a funçãodá um ângulo principal entre e ; para achar o ângulo correto devemos olhar os sinais de e e ajustar o quadrante: - se
, (primeiro ou quarto quadrante); - se
e , (segundo quadrante); - se
e , ou (terceiro quadrante).
Vou indicar o resultado em graus e, quando for mais natural, também como “baixo do eixo” (ângulo negativo) ou como ângulo no intervalo .
- se
Passo 3
Soma
por componentes (exercício 1a).
- Aplicando a regra da soma componente a componente:
- Calculando:
Portanto, em forma de componentes,
Passo 4
Módulo e direção de
(exercício 1b).
- Módulo:
Calculando:
- Direção (ângulo em relação a
, eixo ): Calculando a razão:
Observação de quadrante: aqui
e
, então o ângulo está no primeiro quadrante e
acima é correto.
Portanto, o módulo é
e a direção é
acima do eixo
.
Passo 5
Diferença
por componentes (exercício 1c).
- Subtraindo componente a componente:
- Calculando:
Portanto,
Passo 6
Módulo e direção de
(exercício 1d).
- Módulo:
Calculando:
- Direção:
Calculando a razão:
Interpretação de quadrante:
e
, portanto o vetor está no quarto quadrante. O valor
significa
abaixo do eixo
. Se preferir um ângulo no intervalo
, é
.
Portanto, módulo
e direção
(ou
contando CCW desde
).
Passo 7
Soma
por componentes (exercício 10a).
- Dados:
, . - Soma componente a componente:
Logo,
Passo 8
Módulo e ângulo de
(exercícios 10b e 10c).
-
Módulo:Em valor numérico,
-
Ângulo em relação a
:
Observação de quadrante:
e
, primeiro quadrante, então o valor acima é correto.
Passo 9
Diferença
por componentes (exercício 10d).
- Subtraindo:
Portanto,
Passo 10
Módulo e ângulo de
(exercícios 10e e 10f).
-
Módulo:Em valor numérico,
-
Ângulo em relação a
: Mas atenção aos sinais: aqui e , ambos negativos, ou seja, o vetor está no terceiro quadrante. Para obter o ângulo medido CCW desde o eixo , somamos : Alternativamente, pode-se expressar o ângulo como(isto é, abaixo do eixo ), dependendo da convenção preferida.
Resposta
a)
b) (acima do eixo
).
c)
d) (ou
CCW desde
).
b)
c)
d)
10a)
10b)
10c) (acima do eixo
).
10d)
10e)
10f) (ou
).
10b)
10c)
10d)
10e)
10f)