O vetor \boldsymbol{A} possui componentes A_{x}=4.3 cm . A_{y}=5.4 \mathrm{~cm}; o vetor \boldsymbol{B} possui componentes B_{x}=6.1 \mathrm{~cm} B_{y}=-2.9 \mathrm{~cm}. Ache a) as componentes da soma vetorial \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} ; b) o módulo e a direção de \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} ; c) as componentes da diferença vetorial \boldsymbol{B} - \boldsymbol{A} ; \mathrm{d}) o módulo e a direção da diferença \boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}.
10) Para os vetores \boldsymbol{a}=(4 \mathrm{~m}) \boldsymbol{i}+(6 \mathrm{~m}) \boldsymbol{j} e \boldsymbol{b} =(2 \mathrm{~m}) \boldsymbol{i}+(-3 \mathrm{~m}) \boldsymbol{j}, determine \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}(\mathrm{a}) em termos de vetores unitários, (b) módulo e (c) ângulo (em relação a i). Determine \boldsymbol{b}-
\boldsymbol{a} (d) em termos de vetores unitários (e) em módulo e (f) ângulo.

Passo 1

Dados e o que se pede.
  • Para o primeiro exercício:
    • Vetor \boldsymbol{A} tem componentes \,A_{x}=4{,}3\\ \text{cm}\, e \,A_{y}=5{,}4\\ \text{cm}\,.
    • Vetor \boldsymbol{B} tem componentes \,B_{x}=6{,}1\\ \text{cm}\, e \,B_{y}=-2{,}9\\ \text{cm}\,.
    • Perguntas:
      a) componentes de \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B};
      b) módulo e direção de \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B};
      c) componentes de \boldsymbol{B}-\boldsymbol{A};
      d) módulo e direção de \boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}.
  • Para o exercício 10:
    • Vetor \boldsymbol{a}=(4\\ \text{m})\boldsymbol{i}+(6\\ \text{m})\boldsymbol{j} (ou seja, a_x=4\\ \text{m}, a_y=6\\ \text{m}).
    • Vetor \boldsymbol{b}=(2\\ \text{m})\boldsymbol{i}+(-3\\ \text{m})\boldsymbol{j} (ou seja, b_x=2\\ \text{m}, b_y=-3\\ \text{m}).
    • Perguntas:
      (a) \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} em termos de vetores unitários;
      (b) módulo de \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b};
      (c) ângulo de \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} em relação a \boldsymbol{i};
      (d) \boldsymbol{b}-\boldsymbol{a} em termos de vetores unitários;
      (e) módulo de \boldsymbol{b}-\boldsymbol{a};
      (f) ângulo de \boldsymbol{b}-\boldsymbol{a} em relação a \boldsymbol{i}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação passo a passo).
  • Componentes: um vetor no plano é representado pelas suas componentes x e y. Se temos \boldsymbol{V}=(V_x)\boldsymbol{i}+(V_y)\boldsymbol{j}, então V_x é a componente horizontal e V_y a vertical. Os vetores unitários \boldsymbol{i} e \boldsymbol{j} apontam para os eixos x e y.
  • Soma e subtração por componentes: para vetores com componentes conhecidas, fazemos as operações componente a componente:
    (\boldsymbol{U}+\boldsymbol{V})_x = U_x + V_x,\qquad (\boldsymbol{U}+\boldsymbol{V})_y = U_y + V_y,
(\boldsymbol{V}-\boldsymbol{U})_x = V_x - U_x,\qquad (\boldsymbol{V}-\boldsymbol{U})_y = V_y - U_y.
Isso é porque vetores se somam “coordenada a coordenada”.
  • Módulo (comprimento) de um vetor: se \boldsymbol{V}=(V_x)\boldsymbol{i}+(V_y)\boldsymbol{j}, então
    \|\boldsymbol{V}\|=\sqrt{V_x^{2}+V_y^{2}}.
    Essa fórmula vem do teorema de Pitágoras: o vetor forma um triângulo retângulo com catetos V_x e V_y.
  • Direção (ângulo) em relação ao eixo +x ( \boldsymbol{i}): usamos a tangente
    \theta=\arctan\!\left(\frac{V_y}{V_x}\right).
    Atenção: a função \arctan dá um ângulo principal entre -90^\circ e +90^\circ; para achar o ângulo correto devemos olhar os sinais de V_x e V_y e ajustar o quadrante:
    • se V_x>0, \theta=\arctan(V_y/V_x) (primeiro ou quarto quadrante);
    • se V_x<0 e V_y\ge0, \theta=\arctan(V_y/V_x)+180^\circ (segundo quadrante);
    • se V_x<0 e V_y<0, \theta=\arctan(V_y/V_x)-180^\circ ou \theta=\arctan(V_y/V_x)+180^\circ (terceiro quadrante).
      Vou indicar o resultado em graus e, quando for mais natural, também como “baixo do eixo x” (ângulo negativo) ou como ângulo no intervalo [0^\circ,360^\circ).

Passo 3

Soma \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} por componentes (exercício 1a).
  • Aplicando a regra da soma componente a componente: (A+B)_x = A_x + B_x = 4{,}3 + 6{,}1
(A+B)_y = A_y + B_y = 5{,}4 + (-2{,}9)
  • Calculando: (A+B)_x = 4{,}3 + 6{,}1 = 10{,}4\\ \text{cm},
(A+B)_y = 5{,}4 - 2{,}9 = 2{,}5\\ \text{cm}.
Portanto, em forma de componentes,
\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=(10{,}4\\ \text{cm})\boldsymbol{i}+(2{,}5\\ \text{cm})\boldsymbol{j}.

Passo 4

Módulo e direção de \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} (exercício 1b).
  • Módulo: \|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\|=\sqrt{(10{,}4)^{2}+(2{,}5)^{2}}.Calculando: (10{,}4)^{2}=108{,}16,\qquad (2{,}5)^{2}=6{,}25,
108{,}16+6{,}25=114{,}41,
\|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\|=\sqrt{114{,}41}\approx 10{,}695\\ \text{cm}\approx 10{,}70\\ \text{cm}.
  • Direção (ângulo em relação a \boldsymbol{i}, eixo +x): \theta=\arctan\!\left(\frac{(A+B)_y}{(A+B)_x}\right)=\arctan\!\left(\frac{2{,}5}{10{,}4}\right).Calculando a razão: \frac{2{,}5}{10{,}4}\approx 0{,}24038.
\theta\approx \arctan(0{,}24038)\approx 13{,}5^\circ.
Observação de quadrante: aqui (A+B)_x>0 e (A+B)_y>0, então o ângulo está no primeiro quadrante e \theta acima é correto.
Portanto, o módulo é \approx 10{,}70\\ \text{cm} e a direção é \theta\approx 13{,}5^\circ acima do eixo +x.

Passo 5

Diferença \boldsymbol{B}-\boldsymbol{A} por componentes (exercício 1c).
  • Subtraindo componente a componente: (B-A)_x = B_x - A_x = 6{,}1 - 4{,}3,
(B-A)_y = B_y - A_y = -2{,}9 - 5{,}4.
  • Calculando: (B-A)_x = 6{,}1 - 4{,}3 = 1{,}8\\ \text{cm},
(B-A)_y = -2{,}9 - 5{,}4 = -8{,}3\\ \text{cm}.
Portanto,
\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}=(1{,}8\\ \text{cm})\boldsymbol{i}+(-8{,}3\\ \text{cm})\boldsymbol{j}.

Passo 6

Módulo e direção de \boldsymbol{B}-\boldsymbol{A} (exercício 1d).
  • Módulo: \|\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}\|=\sqrt{(1{,}8)^{2}+(-8{,}3)^{2}}.Calculando: (1{,}8)^{2}=3{,}24,\qquad (8{,}3)^{2}=68{,}89,
3{,}24+68{,}89=72{,}13,
\|\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}\|=\sqrt{72{,}13}\approx 8{,}492\\ \text{cm}\approx 8{,}49\\ \text{cm}.
  • Direção: \theta=\arctan\!\left(\frac{(B-A)_y}{(B-A)_x}\right)=\arctan\!\left(\frac{-8{,}3}{1{,}8}\right).Calculando a razão: \frac{-8{,}3}{1{,}8}\approx -4{,}6111.
\arctan(-4{,}6111)\approx -77{,}8^\circ.
Interpretação de quadrante: (B-A)_x>0 e (B-A)_y<0, portanto o vetor está no quarto quadrante. O valor -77{,}8^\circ significa 77{,}8^\circ abaixo do eixo +x. Se preferir um ângulo no intervalo [0^\circ,360^\circ), é 360^\circ-77{,}8^\circ=282{,}2^\circ.
Portanto, módulo \approx 8{,}49\\ \text{cm} e direção \approx -77{,}8^\circ (ou 282{,}2^\circ contando CCW desde \boldsymbol{i}).

Passo 7

Soma \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} por componentes (exercício 10a).
  • Dados: \boldsymbol{a}=(4\\ \text{m})\boldsymbol{i}+(6\\ \text{m})\boldsymbol{j}, \boldsymbol{b}=(2\\ \text{m})\boldsymbol{i}+(-3\\ \text{m})\boldsymbol{j}.
  • Soma componente a componente: (a+b)_x = 4 + 2 = 6\\ \text{m},
(a+b)_y = 6 + (-3) = 3\\ \text{m}.
Logo,
\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(6\\ \text{m})\boldsymbol{i}+(3\\ \text{m})\boldsymbol{j}.

Passo 8

Módulo e ângulo de \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} (exercícios 10b e 10c).
  • Módulo:
    \|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\|=\sqrt{6^{2}+3^{2}}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\\ \text{m}.
    Em valor numérico,
    3\sqrt{5}\approx 3\times 2{,}23607\approx 6{,}708\\ \text{m}\approx 6{,}71\\ \text{m}.
  • Ângulo em relação a \boldsymbol{i}:
    \theta=\arctan\!\left(\frac{3}{6}\right)=\arctan\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
\theta\approx 26{,}565^\circ\approx 26{,}6^\circ.
Observação de quadrante: (a+b)_x>0 e (a+b)_y>0, primeiro quadrante, então o valor acima é correto.

Passo 9

Diferença \boldsymbol{b}-\boldsymbol{a} por componentes (exercício 10d).
  • Subtraindo: (b-a)_x = 2 - 4 = -2\\ \text{m},
(b-a)_y = -3 - 6 = -9\\ \text{m}.
Portanto,
\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}=(-2\\ \text{m})\boldsymbol{i}+(-9\\ \text{m})\boldsymbol{j}.

Passo 10

Módulo e ângulo de \boldsymbol{b}-\boldsymbol{a} (exercícios 10e e 10f).
  • Módulo:
    \|\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}\|=\sqrt{(-2)^{2}+(-9)^{2}}=\sqrt{4+81}=\sqrt{85}.
    Em valor numérico,
    \sqrt{85}\approx 9{,}2195\\ \text{m}\approx 9{,}22\\ \text{m}.
  • Ângulo em relação a \boldsymbol{i}:
    \theta=\arctan\!\left(\frac{(b-a)_y}{(b-a)_x}\right)=\arctan\!\left(\frac{-9}{-2}\right)=\arctan(4{,}5).
    \arctan(4{,}5)\approx 77{,}47^\circ. Mas atenção aos sinais: aqui (b-a)_x<0 e (b-a)_y<0, ambos negativos, ou seja, o vetor está no terceiro quadrante. Para obter o ângulo medido CCW desde o eixo +x, somamos 180^\circ:
    \theta\approx 77{,}47^\circ + 180^\circ = 257{,}47^\circ\approx 257{,}5^\circ.
    Alternativamente, pode-se expressar o ângulo como -102{,}53^\circ (isto é, 102{,}53^\circ abaixo do eixo +x), dependendo da convenção preferida.

Resposta

a) \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=(10{,}4\\ \text{cm})\boldsymbol{i}+(2{,}5\\ \text{cm})\boldsymbol{j}.
b) \|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\|\approx 10{,}70\\ \text{cm},\\ \theta\approx 13{,}5^\circ (acima do eixo +x).
c) \boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}=(1{,}8\\ \text{cm})\boldsymbol{i}+(-8{,}3\\ \text{cm})\boldsymbol{j}.
d) \|\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}\|\approx 8{,}49\\ \text{cm},\\ \theta\approx -77{,}8^\circ (ou 282{,}2^\circ CCW desde \boldsymbol{i}).
10a) \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(6\\ \text{m})\boldsymbol{i}+(3\\ \text{m})\boldsymbol{j}.
10b) \|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\|=3\sqrt{5}\\ \text{m}\approx 6{,}71\\ \text{m}.
10c) \theta\approx 26{,}6^\circ (acima do eixo +x).
10d) \boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}=(-2\\ \text{m})\boldsymbol{i}+(-9\\ \text{m})\boldsymbol{j}.
10e) \|\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}\|=\sqrt{85}\\ \text{m}\approx 9{,}22\\ \text{m}.
10f) \theta\approx 257{,}5^\circ (ou -102{,}5^\circ).

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