Admitindo os vetores boldsymbol{A}=3 \boldsymbol{i}+7 \boldsymbol{j}-\boldsymbol{k} e boldsymbol{B}=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}. Determine
(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \cdot \boldsymbol{B}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} e pede um produto misto específico. Dados importantes extraídos do enunciado:
\boldsymbol{A} = 3\boldsymbol{i} + 7\boldsymbol{j} - \boldsymbol{k}
\boldsymbol{B} = \boldsymbol{i} - \boldsymbol{j}
A pergunta é: calcular (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \cdot \boldsymbol{B}.

Passo 2

Conceito útil (explicação didática): o produto vetorial \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} produz um vetor que é perpendicular (ortogonal) a ambos \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B}. O produto escalar entre dois vetores é zero se, e somente se, eles forem perpendiculares. Portanto, de forma imediata temos a observação teórica:
(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{B}=0,
porque \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} é perpendicular a \boldsymbol{B}. Essa é a maneira curta e conceitual de ver o resultado. Vou agora mostrar o cálculo explícito, passo a passo, para você ver como dá zero na prática.

Passo 3

Primeiro, escrevemos as componentes dos vetores em forma cartesiana (tirando os coeficientes das bases \boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}):
\boldsymbol{A}=(3,\,7,\,-1),\qquad \boldsymbol{B}=(1,\,-1,\,0).
O produto vetorial \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} pode ser calculado pela determinante:
\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}= \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\\\ 3 & 7 & -1 \\\\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}.
Expandindo essa determinante (fazendo a expansão por cofatores):
\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} = \boldsymbol{i}\,(7\cdot 0 - (-1)\cdot(-1)) - \boldsymbol{j}\,(3\cdot 0 - (-1)\cdot 1) + \boldsymbol{k}\,(3\cdot(-1) - 7\cdot 1).

Passo 4

Agora calculamos cada componente com as contas explícitas:
Para \boldsymbol{i}: 7\cdot 0 - (-1)\cdot(-1)=0-1=-1.
Para \boldsymbol{j}: 3\cdot 0 - (-1)\cdot 1=0-(-1)=1, e há o sinal menos da expansão, então contribui -1 para a componente \boldsymbol{j}.
Para \boldsymbol{k}: 3\cdot(-1) - 7\cdot 1=-3-7=-10.
Portanto
\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} = -\boldsymbol{i} - \boldsymbol{j} -10\boldsymbol{k},
ou em componentes,
\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}=(-1,\,-1,\,-10).

Passo 5

Fazemos agora o produto escalar com \boldsymbol{B}=(1,-1,0):
(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{B} = (-1)\cdot 1 + (-1)\cdot(-1) + (-10)\cdot 0.
Calculando os termos:
-1 + 1 + 0 = 0.
Isso confirma, pelo cálculo explícito, o que a observação teórica já dizia: o resultado é zero.

Resposta

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