Admitindo os vetores boldsymbol{A}=3 \boldsymbol{i}+7 \boldsymbol{j}-\boldsymbol{k} e \boldsymbol{B}=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}. Determine
(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \cdot \boldsymbol{B}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \boldsymbol{A}=3\boldsymbol{i}+7\boldsymbol{j}-\boldsymbol{k} e \boldsymbol{B}=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j} e pede para determinar (\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{B}.
Informações relevantes fornecidas:
\boldsymbol{A}=(3,\,7,\,-1) (peguei as componentes do enunciado),
\boldsymbol{B}=(1,\,-1,\,0) (peguei as componentes do enunciado),
e a expressão a calcular é (\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{B}.

Passo 2

Entendendo o produto vetorial (cruz) de forma prática: para \boldsymbol{A}=(A_x,A_y,A_z) e \boldsymbol{B}=(B_x,B_y,B_z) podemos calcular \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} usando o determinante abaixo:
\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\\ A_x & A_y & A_z \\\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}.
Ao expandir esse determinante, obtemos as componentes:
\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} = \bigl(A_yB_z - A_zB_y\bigr)\boldsymbol{i} - \bigl(A_xB_z - A_zB_x\bigr)\boldsymbol{j} + \bigl(A_xB_y - A_yB_x\bigr)\boldsymbol{k}.
Explicando as letras: A_x é a componente x de \boldsymbol{A}, B_y é a componente y de \boldsymbol{B}, etc. O produto vetorial resulta num vetor perpendicular a ambos os vetores originais.

Passo 3

Agora aplico a fórmula com \boldsymbol{A}=(3,7,-1) e \boldsymbol{B}=(1,-1,0).
Calculo componente a componente:
  • Componente \boldsymbol{i}:
A_yB_z - A_zB_y = 7\cdot 0 - (-1)\cdot(-1) = 0 - 1 = -1.
  • Componente \boldsymbol{j}:
- \bigl(A_xB_z - A_zB_x\bigr) = -\bigl(3\cdot 0 - (-1)\cdot 1\bigr) = -\bigl(0+1\bigr) = -1.
  • Componente \boldsymbol{k}:
A_xB_y - A_yB_x = 3\cdot(-1) - 7\cdot 1 = -3 - 7 = -10.
Portanto,
\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} = -1\,\boldsymbol{i} -1\,\boldsymbol{j} -10\,\boldsymbol{k} = (-1,\,-1,\,-10).

Passo 4

Entendendo o produto escalar (dot): para \boldsymbol{u}=(u_1,u_2,u_3) e \boldsymbol{v}=(v_1,v_2,v_3),
\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3.
Agora calculo (\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{B} usando \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}=(-1,-1,-10) e \boldsymbol{B}=(1,-1,0):
(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{B} = (-1)\cdot 1 + (-1)\cdot(-1) + (-10)\cdot 0 = -1 + 1 + 0 = 0.
Observação conceitual (útil para a prova): isso bate com a propriedade geral de que o vetor \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} é perpendicular a \boldsymbol{B}, então o produto escalar entre eles sempre será zero. Fazer o cálculo explícito como fiz acima é uma boa forma de conferir.

Resposta

0

Exercícios relacionados