Uma amostra de gás se expande de um volume inicial V_{i}=1 m^{3} até um volume final de V_{f}=5 m^{3}. A pressão e o volume estão relacionados segundo a equação p=a V^{2}, onde a=2 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{8}. a) Preencha os valores da pressão na tabela 1. b) Faça o gráfico de p em função de V. d) Calcule o trabalho realizado pelo gás através da integral w=\int_{V i}^{V f} p d V.

Tabela 1

\mathrm{V}\left(\mathrm{m}^{3}\right) 1 2 3 4 5
\mathrm{p}(\mathrm{Pa})

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) preencher a tabela com os valores da pressão para os volumes dados;
  • (b) fazer o gráfico de p em função de V;
  • (d) calcular o trabalho realizado pelo gás usando a integral w=\int_{V_i}^{V_f} p\,dV.
As informações fornecidas são:
  • o volume inicial V_i=1\\ \mathrm{m}^3;
  • o volume final V_f=5\\ \mathrm{m}^3;
  • a relação entre pressão e volume é p = a\,V^{2} com a=2\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{8}.
Isso é tudo que precisamos para preencher a tabela, esboçar o gráfico e calcular a integral do trabalho.

Passo 2

Vamos calcular os valores de pressão usando a fórmula p=aV^{2}. Antes de calcular, vale explicar o que cada símbolo significa:
  • p é a pressão, em pascal \mathrm{(Pa)} (lembrando que 1\\ \mathrm{Pa}=1\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2});
  • a é uma constante dada, com unidade compatível \mathrm{N}/\mathrm{m}^{8};
  • V é o volume em \mathrm{m}^{3}.
A operação é simples: para cada volume dado, elevamos V ao quadrado e multiplicamos por a. Façamos passo a passo para cada entrada da tabela.

Passo 3

Cálculo para V=1\\ \mathrm{m}^3:
p = a V^{2} = 2 \cdot 1^{2} = 2\\ \mathrm{Pa}.
Cálculo para V=2\\ \mathrm{m}^3:
p = 2 \cdot 2^{2} = 2 \cdot 4 = 8\\ \mathrm{Pa}.
Cálculo para V=3\\ \mathrm{m}^3:
p = 2 \cdot 3^{2} = 2 \cdot 9 = 18\\ \mathrm{Pa}.
Cálculo para V=4\\ \mathrm{m}^3:
p = 2 \cdot 4^{2} = 2 \cdot 16 = 32\\ \mathrm{Pa}.
Cálculo para V=5\\ \mathrm{m}^3:
p = 2 \cdot 5^{2} = 2 \cdot 25 = 50\\ \mathrm{Pa}.
Pronto — preenchemos a tabela com esses cinco valores.

Passo 4

Como desenhar o gráfico p versus V:
  • Use no eixo horizontal o volume V em \mathrm{m}^3 e no eixo vertical a pressão p em \mathrm{Pa}.
  • Marque os pontos obtidos na tabela: (1,2), (2,8), (3,18), (4,32), (5,50) (peguei esses pontos dos cálculos acima).
  • A curva que liga esses pontos é uma parábola voltada para cima, porque a relação é quadrática: p=2V^{2}. Então depois de plotar os pontos, desenhe uma curva suave que passa por eles, mostrando crescimento acelerado de p quando V aumenta.
Observação prática: se for desenhar à mão, escolha uma escala que caiba todos os valores (por exemplo, no eixo V de 0 a 5 e no eixo p de 0 a 55) e una os pontos com uma linha curva suave.

Passo 5

Agora calculamos o trabalho realizado pelo gás. Primeiro, a interpretação física e a fórmula: o trabalho efetuado pelo gás em uma expansão contra uma pressão variável é
w=\int_{V_i}^{V_f} p\,dV.
Aqui p é dado por p=2V^{2}, então substituímos na integral:
w=\int_{1}^{5} 2V^{2}\,dV.
Para resolver a integral, usamos a regra básica de integração de potências: para \int V^{n}\,dV = \dfrac{V^{n+1}}{n+1} + C. No nosso caso n=2. Então a antiderivada de V^{2} é \dfrac{V^{3}}{3}. Aplicando fator constante fora da integral:
w = 2 \int_{1}^{5} V^{2}\,dV = 2 \left[ \frac{V^{3}}{3} \right]_{1}^{5}.

Passo 6

Agora calculamos o valor numérico:
\left[ \frac{V^{3}}{3} \right]_{1}^{5} = \frac{5^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3} = \frac{125}{3} - \frac{1}{3} = \frac{124}{3}.
Multiplicando por 2:
w = 2 \cdot \frac{124}{3} = \frac{248}{3}\\ \mathrm{J}.
Convertendo para decimal com duas casas:
w \approx 82{,}67\\ \mathrm{J}.
Observações: a unidade é joule porque p tem unidade \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2} e dV tem unidade \mathrm{m}^{3}, então p\,dV tem unidade \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}=\mathrm{J}. O resultado positivo significa que o gás realizou 82{,}67\\ \mathrm{J} de trabalho no ambiente durante a expansão.

Passo 7

Cheque rápido de coerência (dica útil na prova): se a pressão fosse constante igual a, por exemplo, a pressão média do processo, o trabalho seria aproximadamente essa pressão média vezes \Delta V. Aqui a pressão cresce com V, então o trabalho calculado pela integral faz sentido e tem ordem de grandeza compatível com os valores da tabela.
Força extra de incentivo: você já tem a tabela, o esboço do gráfico (parábola) e a integral resolvida passo a passo — isso é exatamente o tipo de solução que cai em prova. Respira, revise esses passos e treine com outro polinômio simples para fixar.

Resposta

p(1)=2\\ \mathrm{Pa},\\ p(2)=8\\ \mathrm{Pa},\\ p(3)=18\\ \mathrm{Pa},\\ p(4)=32\\ \mathrm{Pa},\\ p(5)=50\\ \mathrm{Pa}.
Gráfico: parábola p=2V^{2} passando pelos pontos (1,2),(2,8),(3,18),(4,32),(5,50).
w=\dfrac{248}{3}\\ \mathrm{J}\approx 82{,}67\\ \mathrm{J}.

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