Uma amostra de gás se expande de um volume inicial
até um volume final de
. A pressão e o volume estão relacionados segundo a equação
, onde
. a) Preencha os valores da pressão na tabela 1. b) Faça o gráfico de
em função de V. d) Calcule o trabalho realizado pelo gás através da integral
.
Tabela 1
1
2
3
4
5
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
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Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) preencher a tabela com os valores da pressão para os volumes dados;
- (b) fazer o gráfico de
em função de ; - (d) calcular o trabalho realizado pelo gás usando a integral
.
As informações fornecidas são:
- o volume inicial
; - o volume final
; - a relação entre pressão e volume é
com .
Isso é tudo que precisamos para preencher a tabela, esboçar o gráfico e calcular a integral do trabalho.
Passo 2
Vamos calcular os valores de pressão usando a fórmula
. Antes de calcular, vale explicar o que cada símbolo significa:
-
é a pressão, em pascal (lembrando que ); -
é uma constante dada, com unidade compatível ; -
é o volume em .
A operação é simples: para cada volume dado, elevamos
ao quadrado e multiplicamos por
. Façamos passo a passo para cada entrada da tabela.
Passo 3
Cálculo para
:
Cálculo para
:
Cálculo para
:
Cálculo para
:
Cálculo para
:
Pronto — preenchemos a tabela com esses cinco valores.
Passo 4
Como desenhar o gráfico
versus
:
- Use no eixo horizontal o volume
em e no eixo vertical a pressão em . - Marque os pontos obtidos na tabela:
, , , , (peguei esses pontos dos cálculos acima). - A curva que liga esses pontos é uma parábola voltada para cima, porque a relação é quadrática:
. Então depois de plotar os pontos, desenhe uma curva suave que passa por eles, mostrando crescimento acelerado de quando aumenta.
Observação prática: se for desenhar à mão, escolha uma escala que caiba todos os valores (por exemplo, no eixo
de 0 a 5 e no eixo
de 0 a 55) e una os pontos com uma linha curva suave.
Passo 5
Agora calculamos o trabalho realizado pelo gás. Primeiro, a interpretação física e a fórmula: o trabalho efetuado pelo gás em uma expansão contra uma pressão variável é
Aqui
é dado por
, então substituímos na integral:
Para resolver a integral, usamos a regra básica de integração de potências: para
. No nosso caso
. Então a antiderivada de
é
. Aplicando fator constante fora da integral:
Passo 6
Agora calculamos o valor numérico:
Multiplicando por
:
Convertendo para decimal com duas casas:
Observações: a unidade é joule porque
tem unidade
e
tem unidade
, então
tem unidade
. O resultado positivo significa que o gás realizou
de trabalho no ambiente durante a expansão.
Passo 7
Cheque rápido de coerência (dica útil na prova): se a pressão fosse constante igual a, por exemplo, a pressão média do processo, o trabalho seria aproximadamente essa pressão média vezes
. Aqui a pressão cresce com
, então o trabalho calculado pela integral faz sentido e tem ordem de grandeza compatível com os valores da tabela.
Força extra de incentivo: você já tem a tabela, o esboço do gráfico (parábola) e a integral resolvida passo a passo — isso é exatamente o tipo de solução que cai em prova. Respira, revise esses passos e treine com outro polinômio simples para fixar.
Resposta
Gráfico: parábola