Admitindo os vetores boldsymbol{A}=3 \boldsymbol{i}+7 \boldsymbol{j}-\boldsymbol{k} e \boldsymbol{B}=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}. Determine
(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \cdot \boldsymbol{A}.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} e pede para calcular o produto escalar (\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{A}.
Dados fornecidos:
\boldsymbol{A}=3\boldsymbol{i}+7\boldsymbol{j}-\boldsymbol{k}
\boldsymbol{B}=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}
O que precisa ser determinado: o valor numérico de (\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{A}.

Passo 2

Estratégia: primeiro vamos calcular o vetor \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} componente a componente; em seguida fazemos o produto escalar desse resultado com \boldsymbol{A}. Vou mostrar passo a passo as fórmulas e a conta para você conseguir reproduzir na prova.

Passo 3

Converta os vetores para coordenadas em componentes (usando as bases \boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}):
\boldsymbol{A}=(3,\,7,\,-1),\qquad \boldsymbol{B}=(1,\,-1,\,0).
A fórmula componente a componente do produto vetorial \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} é
\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\bigr),
onde \boldsymbol{A}=(a_1,a_2,a_3) e \boldsymbol{B}=(b_1,b_2,b_3). Aqui a_1=3, a_2=7, a_3=-1; b_1=1, b_2=-1, b_3=0.
Calculemos cada componente:
\text{componente } \boldsymbol{i}: \; a_2b_3-a_3b_2 = 7\cdot 0 - (-1)\cdot(-1) = 0 - 1 = -1,
\text{componente } \boldsymbol{j}: \; a_3b_1-a_1b_3 = (-1)\cdot 1 - 3\cdot 0 = -1 - 0 = -1,
\text{componente } \boldsymbol{k}: \; a_1b_2-a_2b_1 = 3\cdot(-1) - 7\cdot 1 = -3 - 7 = -10.
Portanto
\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}=(-1,\,-1,\,-10).

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar (\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{A}. A definição do produto escalar entre (x_1,x_2,x_3) e (y_1,y_2,y_3) é
(x_1,x_2,x_3)\cdot(y_1,y_2,y_3)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
Aplique isso a \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}=(-1,-1,-10) e \boldsymbol{A}=(3,7,-1):
(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{A}=(-1)\cdot 3 + (-1)\cdot 7 + (-10)\cdot(-1).
Calcule termo a termo:
(-1)\cdot 3 = -3,
(-1)\cdot 7 = -7,
(-10)\cdot(-1) = +10.
Somando:
-3 + (-7) + 10 = -3 -7 +10 = 0.

Passo 5

Interpretação conceitual (útil para a prova): o produto vetorial \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} é, por construção, um vetor perpendicular a \boldsymbol{A}. O produto escalar entre vetores perpendiculares é zero. Assim, sem calcular componentes, já se pode concluir que
(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{A}=0.
Outra forma de ver é usar a propriedade do triplo escalar (produto misto) que muda de sinal quando permutamos vetores; em particular, repetir um vetor no triplo escalar dá zero. Essas são maneiras rápidas e seguras para a prova.

Resposta

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