Admitindo os vetores boldsymbol{A}=3 \boldsymbol{i}+7 \boldsymbol{j}-\boldsymbol{k} e boldsymbol{B}=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}. Determine
(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \cdot \boldsymbol{A} .

Passo 1

O enunciado fornece os vetores
\boldsymbol{A}=3\boldsymbol{i}+7\boldsymbol{j}-\boldsymbol{k} \qquad\text{e}\qquad \boldsymbol{B}=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}.
A pergunta é calcular
(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{A}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os componentes de \boldsymbol{A} são \,A_x=3,\;A_y=7,\;A_z=-1.
  • Os componentes de \boldsymbol{B} são \,B_x=1,\;B_y=-1,\;B_z=0.

Passo 2

Vou lembrar o que são produto vetorial e produto escalar e dar a fórmula prática para calcular o produto vetorial componente a componente.
  • Produto vetorial \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}: é um vetor perpendicular a \boldsymbol{A} e a \boldsymbol{B}. Em componentes, se \boldsymbol{A}=(A_x,A_y,A_z) e \boldsymbol{B}=(B_x,B_y,B_z), então
\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}=(A_yB_z-A_zB_y)\boldsymbol{i}+(A_zB_x-A_xB_z)\boldsymbol{j}+(A_xB_y-A_yB_x)\boldsymbol{k}.
Aqui cada símbolo significa:
  • A_x,A_y,A_z: componentes do vetor \boldsymbol{A} nas direções \boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}.
  • B_x,B_y,B_z: componentes do vetor \boldsymbol{B}.
  • O resultado é outro vetor cujas componentes são dadas pelas expressões acima.
  • Produto escalar \boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{A}: se \boldsymbol{C}=(C_x,C_y,C_z) e \boldsymbol{A}=(A_x,A_y,A_z), então
\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{A}=C_xA_x+C_yA_y+C_zA_z.
Se \boldsymbol{C} for perpendicular a \boldsymbol{A}, esse produto escalar vale zero.
Observação importante (propriedade útil): \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} é perpendicular a \boldsymbol{A}. Portanto, sem cálculo pesado, já se espera que
(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{A}=0.
Vou agora fazer uma conta explícita para mostrar passo a passo e confirmar esse resultado.

Passo 3

Identificar claramente as componentes (já listadas no Passo 1):
A_x=3,\quad A_y=7,\quad A_z=-1,
B_x=1,\quad B_y=-1,\quad B_z=0.

Passo 4

Calcular \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} usando a fórmula componente a componente.
Componente \boldsymbol{i}:
A_yB_z-A_zB_y=7\cdot0-(-1)\cdot(-1)=0-1=-1.
Componente \boldsymbol{j}:
A_zB_x-A_xB_z=(-1)\cdot1-3\cdot0=-1-0=-1.
Componente \boldsymbol{k}:
A_xB_y-A_yB_x=3\cdot(-1)-7\cdot1=-3-7=-10.
Portanto
\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}=-1\boldsymbol{i}-1\boldsymbol{j}-10\boldsymbol{k}.

Passo 5

Agora calculo o produto escalar (\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{A}. Multiplico componente a componente e somo:
(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{A}=(-1)\cdot A_x+(-1)\cdot A_y+(-10)\cdot A_z.
Substituindo A_x=3,\;A_y=7,\;A_z=-1:
(-1)\cdot3+(-1)\cdot7+(-10)\cdot(-1)=-3-7+10=0.

Passo 6

Interpretação final e observação pedagógica: o cálculo explícito deu 0, o que confirma a propriedade geral de vetores de que o produto vetorial \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} é ortogonal a \boldsymbol{A}, então o produto escalar entre eles é nulo. Isso é uma boa atalho para a prova: sempre que aparecer algo do tipo (\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot\boldsymbol{A} pode-se responder rapidamente 0 usando essa propriedade, sem precisar calcular componentes.

Resposta

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