Obtenha as relações de composição relativística de velocidades inversa para uma partícula se movendo com velocidade u_{x}, medida no referencial S.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (lista clara):
  • Há uma partícula que, no referencial S, tem velocidade longitudinal (ao longo do eixo x) igual a \,u_x.
  • Tem dois referenciais: S e S'. O referencial S' move-se em relação a S com velocidade \,v ao longo do eixo x (vamos adotar a convenção usual: S' se desloca no sentido + x de S com velocidade \,v).
  • A constante universal é a velocidade da luz \,c.
O enunciado pede: obter as relações de composição relativística de velocidades inversa — isto é, a fórmula que dá a velocidade medida em S' em função de \,u_x e \,v, e também a relação inversa que expressa \,u_x em função da velocidade medida em S' (isto é útil para ir e voltar entre os referenciais).

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: transformações de Lorentz para diferenças de posição e tempo entre eventos próximos (usadas para velocidades instantâneas). Vamos escrever as transformações para incrementos diferenciais:
dx'=\gamma\,(dx-v\,dt), \qquad dt'=\gamma\left(dt-\frac{v\,dx}{c^{2}}\right),
onde
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Explicação didática rápida: \gamma é o fator que surge por causa da dilatação/contração relativística; dx e dt são os deslocamento e intervalo de tempo entre dois eventos infinitesimalmente próximos medidos em S; dx' e dt' são os mesmos eventos em S'. Para velocidade instantânea usamos u_x=dx/dt.

Passo 3

Cálculo direto de \,u_x' (velocidade medida em S') a partir de \,u_x (velocidade em S).
Escrevendo dx=u_x\,dt (definição de velocidade em S) e substituindo nas transformações:
dx'=\gamma\big(u_x\,dt - v\,dt\big)=\gamma\,(u_x - v)\,dt,
dt'=\gamma\left(dt - \frac{v\,u_x\,dt}{c^{2}}\right)=\gamma\left(1-\frac{v\,u_x}{c^{2}}\right)dt.
Agora a velocidade em S' é u_x' = dx'/dt'. Cancelando o fator comum \gamma\,dt:
u_x'=\frac{\gamma\,(u_x - v)\,dt}{\gamma\left(1-\dfrac{v\,u_x}{c^{2}}\right)dt} =\frac{u_x - v}{1-\dfrac{v\,u_x}{c^{2}}}.
Isso é a fórmula de transformação das velocidades na direção do movimento relativo entre os referenciais.
Comentário prático: se \,u_x=c (luz), substituindo na fórmula dá u_x'=c — a velocidade da luz é a mesma em todos os referenciais (propriedade essencial da relatividade).

Passo 4

Derivar a relação inversa: expressar \,u_x em função de \,u_x' e \,v.
Partimos de
u_x'=\frac{u_x - v}{1-\dfrac{v\,u_x}{c^{2}}}.
Multiplicamos cruzado para eliminar denominador:
u_x'\left(1-\frac{v\,u_x}{c^{2}}\right)=u_x - v.
Expandindo o lado esquerdo:
u_x' - \frac{v\,u_x'\,u_x}{c^{2}} = u_x - v.
Agora vamos isolar os termos com u_x num lado e os outros no outro lado. Colocando todos os termos com u_x à esquerda:
- \frac{v\,u_x'\,u_x}{c^{2}} - u_x = - v - u_x'.
Multiplicando por -1:
\frac{v\,u_x'\,u_x}{c^{2}} + u_x = v + u_x'.
Fatorando u_x à esquerda:
u_x\left(1+\frac{v\,u_x'}{c^{2}}\right) = v + u_x'.
Finalmente isolando u_x:
u_x = \frac{u_x' + v}{1 + \dfrac{v\,u_x'}{c^{2}}}.
Esta é a relação inversa: dado o valor medido em S' ( u_x'), obtém-se u_x no referencial S.

Passo 5

Interpretações, checagens rápidas e dicas para prova (como usar/conferir a fórmula):
  • Limite não relativístico ( c\to\infty ou v,u_x\ll c): as frações \dfrac{v\,u_x}{c^{2}} e \dfrac{v\,u_x'}{c^{2}} vão para zero, e as fórmulas reduzem-se à adição galileana:
u_x' \approx u_x - v, \qquad u_x \approx u_x' + v.
Isso ajuda a conferir sinais e fatores em provas.
  • Invariância da velocidade da luz: se u_x=c, então
u_x'=\frac{c-v}{1-\dfrac{v\,c}{c^{2}}}=\frac{c-v}{1-\dfrac{v}{c}}=c.
Isso demonstra que a transformação preserva c.
  • Consistência de sinais: se u_x=-v (a partícula está instantaneamente em repouso em S'?), substituindo em u_x' obtemos u_x'=0; e de maneira inversa, se u_x'=0 então u_x=v pela fórmula inversa — cuidado com a convenção de sinais do v.
Dica prática para prova: decorar uma das duas fórmulas (por exemplo u_x'=(u_x-v)/(1- v u_x/c^{2})) e saber inverter algebricamente para obter a outra quando necessário.

Resposta

u_x'=\frac{u_x - v}{1-\dfrac{v\,u_x}{c^{2}}}
u_x=\frac{u_x' + v}{1+\dfrac{v\,u_x'}{c^{2}}}

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