Obtenha as relações de composição relativística de velocidades inversa para uma partícula se movendo com velocidade
, medida no referencial
.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (lista clara):
- Há uma partícula que, no referencial
, tem velocidade longitudinal (ao longo do eixo ) igual a . - Tem dois referenciais:
e . O referencial move-se em relação a com velocidade ao longo do eixo (vamos adotar a convenção usual: se desloca no sentido + de com velocidade ). - A constante universal é a velocidade da luz
.
O enunciado pede: obter as relações de composição relativística de velocidades inversa — isto é, a fórmula que dá a velocidade medida em
em função de
e
, e também a relação inversa que expressa
em função da velocidade medida em
(isto é útil para ir e voltar entre os referenciais).
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: transformações de Lorentz para diferenças de posição e tempo entre eventos próximos (usadas para velocidades instantâneas). Vamos escrever as transformações para incrementos diferenciais:
onde
Explicação didática rápida:
é o fator que surge por causa da dilatação/contração relativística;
e
são os deslocamento e intervalo de tempo entre dois eventos infinitesimalmente próximos medidos em
;
e
são os mesmos eventos em
. Para velocidade instantânea usamos
.
Passo 3
Cálculo direto de
(velocidade medida em
) a partir de
(velocidade em
).
Escrevendo
(definição de velocidade em
) e substituindo nas transformações:
Agora a velocidade em
é
. Cancelando o fator comum
:
Isso é a fórmula de transformação das velocidades na direção do movimento relativo entre os referenciais.
Comentário prático: se
(luz), substituindo na fórmula dá
— a velocidade da luz é a mesma em todos os referenciais (propriedade essencial da relatividade).
Passo 4
Derivar a relação inversa: expressar
em função de
e
.
Partimos de
Multiplicamos cruzado para eliminar denominador:
Expandindo o lado esquerdo:
Agora vamos isolar os termos com
num lado e os outros no outro lado. Colocando todos os termos com
à esquerda:
Multiplicando por
:
Fatorando
à esquerda:
Finalmente isolando
:
Esta é a relação inversa: dado o valor medido em
(
), obtém-se
no referencial
.
Passo 5
Interpretações, checagens rápidas e dicas para prova (como usar/conferir a fórmula):
- Limite não relativístico (
ou ): as frações e vão para zero, e as fórmulas reduzem-se à adição galileana:
Isso ajuda a conferir sinais e fatores em provas.
- Invariância da velocidade da luz: se
, então
Isso demonstra que a transformação preserva
.
- Consistência de sinais: se
(a partícula está instantaneamente em repouso em ?), substituindo em obtemos ; e de maneira inversa, se então pela fórmula inversa — cuidado com a convenção de sinais do .
Dica prática para prova: decorar uma das duas fórmulas (por exemplo
) e saber inverter algebricamente para obter a outra quando necessário.