Um disco circular, não condutor, de espessura desprezível e raio R, possui uma densidade superficial de carga estacionária, mas não uniforme, \sigma(\overrightarrow{\boldsymbol{r}})=\sigma_{0}(s / R)^{2}, onde s é a distância radial até o seu centro e \sigma_{0} é uma constante. Determine o potencial elétrico gerado pelo disco em seu centro, considerando que o potencial é nulo no infinito.
(a) \frac{\sigma_{0} R}{2 \varepsilon_{0}}.
(b) \quad \frac{\sigma_{0} R}{6 \pi \epsilon_{0}}.
(c) \frac{\sigma_{0} R}{6 \epsilon_{0}}.
(d) \frac{\sigma_{0} R}{4 \epsilon_{0}}.
(e) \frac{\sigma_{0} R}{4 \pi \epsilon_{0}}.
(f) \frac{\sigma_{0} R}{16 \epsilon_{0}}.
(g) \frac{\sigma_{0} R}{16 \pi \epsilon_{0}}.

Passo 1

O que o problema pede: determinar o potencial elétrico no centro do disco, tomando o potencial nulo no infinito, e escolher a alternativa correta entre as dadas.
Informações dadas:
  • O disco é circular, de raio R, espessura desprezível.
  • A densidade superficial de carga é não uniforme e dada por \sigma(\overrightarrow{\boldsymbol{r}})=\sigma_{0}(s/R)^{2}, onde s é a distância radial até o centro e \sigma_{0} é constante.
  • O potencial no infinito é 0.
  • Queremos o potencial no centro do disco (ponto a distância zero do centro).

Passo 2

Método escolhido e fórmula básica: usamos a superposição de potenciais de cargas elementares. A fórmula do potencial devido a uma carga elementar dq a uma distância r é
dV = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{dq}{r},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Para uma distribuição contínua aplicamos essa fórmula somando (integrando) todos os elementos dq. Aqui cada elemento do disco está no mesmo plano do centro, a uma distância radial s do centro, então a distância entre o elemento e o ponto onde queremos o potencial é r=s.
Explicação curta do porquê isso funciona: o potencial é uma grandeza escalar; podemos integrar as contribuições escalares de cada elemento dq independentemente da direção, desde que conheçamos a distância de cada elemento ao ponto de interesse.

Passo 3

Escolha de coordenadas e elemento de carga: é natural usar coordenadas polares (s,\varphi) no plano do disco. Considere um anel de raio \,s e espessura \,ds. A área desse anel é
dA = 2\pi s\,ds.
A carga no anel é
dq = \sigma(s)\,dA = \sigma(s)\,2\pi s\,ds.
Aqui \sigma(s) é a densidade superficial no raio s, ou seja \sigma(s)=\sigma_{0}\bigl(s/R\bigr)^{2}.

Passo 4

Expressão da contribuição ao potencial do anel: a distância do anel ao centro é r=s. Substituindo dq na fórmula do potencial, temos
dV = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{dq}{s} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\sigma(s)\,2\pi s\,ds}{s}.
Note que o fator s do numerador cancela com o s do denominador, ficando uma expressão bem simples. Simplificando,
dV = \frac{1}{2\varepsilon_{0}}\sigma(s)\,ds.
Comentário didático: esse cancelamento é um truque comum em problemas axissimétricos no centro — a dependência radial do elemento de área compensa a distância quando avaliamos no centro.

Passo 5

Integral total do potencial: integramos dV de s=0 até s=R:
V(0)=\int_{0}^{R} dV = \frac{1}{2\varepsilon_{0}}\int_{0}^{R}\sigma(s)\,ds.
Agora substituímos \sigma(s)=\sigma_{0}\bigl(s/R\bigr)^{2}:
V(0)=\frac{1}{2\varepsilon_{0}}\int_{0}^{R}\sigma_{0}\frac{s^{2}}{R^{2}}\,ds = \frac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}R^{2}}\int_{0}^{R}s^{2}\,ds.
Calcule a integral:
\int_{0}^{R}s^{2}\,ds=\left[\frac{s^{3}}{3}\right]_{0}^{R}=\frac{R^{3}}{3}.
Substituindo:
V(0)=\frac{\sigma_{0}}{2\varepsilon_{0}R^{2}}\cdot\frac{R^{3}}{3}=\frac{\sigma_{0}R}{6\varepsilon_{0}}.

Passo 6

Verificação e interpretação: a unidade está coerente (densidade superficial \sigma_{0} em C/m ^2, multiplicada por R em m e dividida por \varepsilon_{0} dá potencial em volts). Como checagem rápida, para o caso uniforme \sigma= constante a mesma integração levaria a V(0)=\sigma R/(2\varepsilon_{0}), o que é um resultado conhecido — aqui, por causa do fator (s/R)^{2}, o resultado ficou menor: \sigma_{0}R/(6\varepsilon_{0}).
Portanto, a alternativa correta é a (c).

Resposta

(c) \displaystyle \frac{\sigma_{0} R}{6 \varepsilon_{0}}

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