Um disco circular, não condutor, de espessura desprezível e raio
, possui uma densidade superficial de carga estacionária, mas não uniforme,
, onde
é a distância radial até o seu centro e
é uma constante. Determine o potencial elétrico gerado pelo disco em seu centro, considerando que o potencial é nulo no infinito.
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
(g)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
O que o problema pede: determinar o potencial elétrico no centro do disco, tomando o potencial nulo no infinito, e escolher a alternativa correta entre as dadas.
Informações dadas:
- O disco é circular, de raio
, espessura desprezível. - A densidade superficial de carga é não uniforme e dada por
, onde é a distância radial até o centro e é constante. - O potencial no infinito é
. - Queremos o potencial no centro do disco (ponto a distância zero do centro).
Passo 2
Método escolhido e fórmula básica: usamos a superposição de potenciais de cargas elementares. A fórmula do potencial devido a uma carga elementar
a uma distância
é
onde
é a permissividade do vácuo. Para uma distribuição contínua aplicamos essa fórmula somando (integrando) todos os elementos
. Aqui cada elemento do disco está no mesmo plano do centro, a uma distância radial
do centro, então a distância entre o elemento e o ponto onde queremos o potencial é
.
Explicação curta do porquê isso funciona: o potencial é uma grandeza escalar; podemos integrar as contribuições escalares de cada elemento
independentemente da direção, desde que conheçamos a distância de cada elemento ao ponto de interesse.
Passo 3
Escolha de coordenadas e elemento de carga: é natural usar coordenadas polares
no plano do disco. Considere um anel de raio
e espessura
. A área desse anel é
A carga no anel é
Aqui
é a densidade superficial no raio
, ou seja
.
Passo 4
Expressão da contribuição ao potencial do anel: a distância do anel ao centro é
. Substituindo
na fórmula do potencial, temos
Note que o fator
do numerador cancela com o
do denominador, ficando uma expressão bem simples. Simplificando,
Comentário didático: esse cancelamento é um truque comum em problemas axissimétricos no centro — a dependência radial do elemento de área compensa a distância quando avaliamos no centro.
Passo 5
Integral total do potencial: integramos
de
até
:
Agora substituímos
:
Calcule a integral:
Substituindo:
Passo 6
Verificação e interpretação: a unidade está coerente (densidade superficial
em C/m
, multiplicada por
em m e dividida por
dá potencial em volts). Como checagem rápida, para o caso uniforme
constante a mesma integração levaria a
, o que é um resultado conhecido — aqui, por causa do fator
, o resultado ficou menor:
.
Portanto, a alternativa correta é a (c).
Resposta
(c)