Adsorção de n-butanol presente no ar ( 20^{\circ} \mathrm{C} ) foi estudada em uma pequena coluna de leito fixo com 10,16 \mathrm{~cm} de diâmetro e quantidade de carvão ativado de 300 g , que correspondem a 8 cm de altura de leito. Os dados a seguir foram obtidos de ensaios de adsorção realizados nas condições apresentadas anteriormente.
\mathbf{3 0 0 ~} \mathbf{g}
\mathbf{t}[\mathbf{h}] 1 1,5 2 2,4 2,8 3,3 4 5
\mathbf{c} / \mathbf{c}_{0} 0,005 0,01 0,027 0,05 0,1 0,2 0,29 0,56
Dados:
u_{0}=58 \mathrm{~cm} / \mathrm{s};
c_{0}=365 p p m;
\rho_{b}=0,461 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3};
\dot{V}=0,3402 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg} de alimentação
Estime o tempo de ruptura \left(\mathrm{c} / \mathrm{c}_{0}=0,05\right) para um leito com altura de 32 cm .

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Estimar o tempo de ruptura para \dfrac{c}{c_0}=0,05 em um leito com altura H_{\text{novo}}=32\\ \text{cm}.
Dados fornecidos (peguei-os do enunciado e da tabela):
  • Diâmetro da coluna: D=10,16\\ \text{cm}.
  • Massa de carvão ativado usada nos ensaios: m_{\text{exp}}=300\\ \text{g}.
  • Altura do leito correspondente aos 300\\ \text{g}: H_{\text{exp}}=8\\ \text{cm}.
  • Velocidade superficial do ar: u_0=58\\ \text{cm}/\text{s}.
  • Concentração de alimentação: c_0=365\\ \text{ppm}.
  • Densidade aparente do leito: \rho_b=0,461\\ \text{g}/\text{cm}^3.
  • Outro dado dado no enunciado: \dot{V}=0,3402\\ \text{m}^3/\text{kg} de alimentação (está na lista de dados).
  • Dados experimentais (peguei-os da tabela): tempos t e razões \dfrac{c}{c_0}:
    • t=1{,}0\\ \text{h} \dfrac{c}{c_0}=0{,}005
    • t=1{,}5\\ \text{h} \dfrac{c}{c_0}=0{,}01
    • t=2{,}0\\ \text{h} \dfrac{c}{c_0}=0{,}027
    • t=2{,}4\\ \text{h} \dfrac{c}{c_0}=0{,}05
    • t=2{,}8\\ \text{h} \dfrac{c}{c_0}=0{,}1
    • t=3{,}3\\ \text{h} \dfrac{c}{c_0}=0{,}2
    • t=4{,}0\\ \text{h} \dfrac{c}{c_0}=0{,}29
    • t=5{,}0\\ \text{h} \dfrac{c}{c_0}=0{,}56
Observação: a tabela mostra que, no experimento com 300\\ \text{g} ( H_{\text{exp}}=8\\ \text{cm}), o ponto de interesse \dfrac{c}{c_0}=0{,}05 ocorreu a t=2{,}4\\ \text{h}. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Verificar geometria do leito e consistência massa–volume (isso ajuda a ver como a massa escala com a altura do leito).
Área da seção transversal da coluna:
A = \frac{\pi D^2}{4}
onde D é o diâmetro. Substituindo:
A = \frac{\pi (10{,}16\\ \text{cm})^2}{4} \approx 81{,}03\\ \text{cm}^2.
Volume do leito experimental (altura H_{\text{exp}}=8\\ \text{cm}):
V_{\text{exp}} = A\cdot H_{\text{exp}} \approx 81{,}03\\ \text{cm}^2 \times 8\\ \text{cm} \approx 648{,}24\\ \text{cm}^3.
Massa calculada a partir de \rho_b:
m_{\text{calc}} = \rho_b\; V_{\text{exp}} = 0{,}461\\ \frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\times 648{,}24\\ \text{cm}^3 \approx 298{,}7\\ \text{g},
o que bate com os 300\\ \text{g} informados (pequena diferença por arredondamento). Bom — assim sabemos que, para a mesma coluna, a massa escala proporcionalmente à altura do leito.
Para H_{\text{novo}}=32\\ \text{cm} (quatro vezes maior), teremos
V_{\text{novo}} = 4\\ V_{\text{exp}},\qquad m_{\text{novo}} = 4\\ m_{\text{exp}} \approx 1200\\ \text{g}.

Passo 3

Identificar o tempo de ruptura experimental na coluna de 8\\ \text{cm}.
Da tabela (peguei o valor da tabela), o tempo para \dfrac{c}{c_0}=0{,}05 é
t_{\text{rupt, exp}} = 2{,}4\\ \text{h}.

Passo 4

Explicar por que podemos escalar o tempo de ruptura com a altura (aula rápida e intuitiva).
Raciocínio físico: o tempo de ruptura t_{\text{rupt}} é o tempo até que a quantidade de adsorbato que passou pela coluna seja suficiente para saturar a porção do leito que retém efetivamente o adsorvente antes da frente de ruptura chegar à saída. Em forma compacta:
\text{(capacidade adsorvida total até ruptura)} = \text{(taxa de entrada de massa do adsorbato)} \times t_{\text{rupt}}.é
Seja q_b a capacidade efetiva de adsorção por unidade de massa de adsorvente até o ponto de ruptura (mesmas condições experimentais de concentração, temperatura, etc.). Então a massa total adsorvida até ruptura é q_b\; m. A taxa de entrada de massa de adsorbato é proporcional ao fluxo volumétrico Q e à concentração c_0: aproximadamente Q c_0. Assim
t_{\text{rupt}} \approx \frac{q_b\; m}{Q c_0}.
Para dois leitos com mesma coluna (mesma seção A), mesma u_0 (logo mesmo Q), mesma c_0 e mesmas condições de operação, q_b e Q c_0 são os mesmos. Portanto t_{\text{rupt}} escala diretamente com a massa m:
t_{\text{rupt}} \propto m.
Como, na mesma coluna, m é proporcional à altura H (mesmo A e mesma \rho_b), obtemos a proporcionalidade útil para resolver o exercício:
\frac{t_{\text{rupt, novo}}}{t_{\text{rupt, exp}}}=\frac{m_{\text{novo}}}{m_{\text{exp}}}=\frac{H_{\text{novo}}}{H_{\text{exp}}}.
Observação didática curta: não precisamos conhecer q_b nem Q numericamente; basta saber que, sob as mesmas condições de operação, esses termos são constantes entre os dois casos e cancelam na razão. Essa é a razão pela qual o tempo de ruptura escala linearmente com a altura do leito quando as demais condições são mantidas.

Passo 5

Aplicar a escala e calcular o tempo de ruptura para H_{\text{novo}}=32\\ \text{cm}.
Relação:
t_{\text{rupt, novo}} = t_{\text{rupt, exp}}\cdot\frac{H_{\text{novo}}}{H_{\text{exp}}}.
Substituindo valores:
t_{\text{rupt, novo}} = 2{,}4\\ \text{h}\times\frac{32\\ \text{cm}}{8\\ \text{cm}} = 2{,}4\\ \text{h}\times 4 = 9{,}6\\ \text{h}.
Converter para horas e minutos (opcional de clareza):
0{,}6\\ \text{h} = 0{,}6\times60\\ \text{min}=36\\ \text{min},
logo 9{,}6\\ \text{h} = 9\\ \text{h}\\\ 36\\ \text{min}.

Passo 6

Observações finais e checagem rápida (para a prova):
  • A aproximação que usamos assume que o perfil de adsorção e a capacidade específica até ruptura ( q_b) não mudam com a massa (válido se a escala é geométrica e as condições de operação — velocidade superficial, temperatura, concentração — são mantidas).
  • Efeitos não-lineares (por exemplo, transferência de massa limitada, distribuição de fluxo, efeitos de escala real) podem causar pequenas diferenças na prática, mas para estimativa de prova esse procedimento linear é o método correto e rápido.
  • Você fez certo em aproveitar o ponto da tabela: o valor experimental de 2{,}4\\ \text{h} para H=8\\ \text{cm} é a base para a escala.

Resposta

9{,}6\\ \text{h} (ou 9\\ \text{h}\\\ 36\\ \text{min})

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