A adsorção de um gás é descrita pela isoterma de Langmuir com
\mathrm{a}=0,75 \mathrm{kPa}-1, a 25^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a pressão em que o grau de recobrimento da superfície é de 0,15

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a pressão em que o grau de recobrimento da superfície é de 0,15.
Dados fornecidos:
  • constante da isoterma de Langmuir: a=0,75\\ \mathrm{kPa}^{-1} (a 25^\circ\mathrm{C});
  • grau de recobrimento desejado: \theta=0,15.
    Pergunta: calcular a pressão p tal que \theta=0,15.

Passo 2

Apresentação da fórmula e significado das variáveis.
A isoterma de Langmuir relaciona o grau de recobrimento \theta com a pressão p pela fórmula
\theta=\frac{a\,p}{1+a\,p}.
Explicando cada símbolo:
  • \theta é a fração de sítios de superfície ocupados (vai de 0 a 1);
  • a é a constante de equilíbrio da adsorção (aqui em \mathrm{kPa}^{-1}), indica afinidade do gás pela superfície;
  • p é a pressão do gás (em \mathrm{kPa}).
    Na prova, reconheça esta fórmula e saiba que ela pode ser invertida para obter p em função de \theta.

Passo 3

Isolando p na equação. Começamos de
\theta=\frac{a\,p}{1+a\,p}.
Multiplicamos ambos os lados por (1+a\,p) (válido porque 1+a\,p>0 para p\ge0):
\theta(1+a\,p)=a\,p.
Expandindo o lado esquerdo:
\theta + \theta a\,p = a\,p.
Agrupando os termos que contêm p no mesmo lado:
\theta = a\,p - \theta a\,p = a\,p(1-\theta).
Logo,
p=\frac{\theta}{a(1-\theta)}.
Este passo é só álgebra básica: multiplicar, expandir e fatorar para deixar p isolado.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos. Usamos \theta=0,15 e a=0,75\\ \mathrm{kPa}^{-1}:
p=\frac{0,15}{0,75\,(1-0,15)}.
Calcule 1-0,15=0,85. Então
p=\frac{0,15}{0,75\cdot 0,85}.
Uma forma prática de calcular mentalmente: primeiro \dfrac{0,15}{0,75}=0,20, depois \dfrac{0,20}{0,85}. Portanto
p=\frac{0,20}{0,85}=\frac{20}{85}=\frac{4}{17}\\ \mathrm{kPa}\approx 0,235294\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Interpretação e dica para a prova. O resultado mostra que uma pressão pequena (cerca de 0,235\\ \mathrm{kPa}) já produz 15\% de cobertura, dado o valor de a. Dica prática: sempre reorganize a isoterma para p=\theta/[a(1-\theta)] — é uma fórmula curta que vale decorar; verifique unidades (a tem unidade de \mathrm{pressão}^{-1}ã, então o produto a p é adimensional) e faça a álgebra passo a passo como fizemos aqui para evitar erros.

Resposta

p=\dfrac{4}{17}\\ \mathrm{kPa}\approx 0,235\\ \mathrm{kPa}

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