Certa amostra sólida adsorve 0,63 \mathrm{mg} de CO quando a pressão do gás é de 36,0 kPa e a temperatura, 300 K . A massa do gás adsorvido, quando a pressão é 4,0 \mathrm{kPa} e a temperatura é 300 K , é de 0,21 \mathrm{mg}. A adsorção é descrita pela isoterma de Langmuir. Encontre, em cada pressão, o grau de recobrimento da superfície.

Passo 1

O enunciado dá duas medidas de massa de CO adsorvido em uma amostra sólida, ambas à mesma temperatura 300\\ \mathrm{K}, para duas pressões diferentes, e pede o grau de recobrimento da superfície (fração de superfície ocupada) em cada pressão.
Dados relevantes fornecidos:
m_1 = 0,63\\ \mathrm{mg},\quad P_1 = 36{,}0\\ \mathrm{kPa},
m_2 = 0,21\\ \mathrm{mg},\quad P_2 = 4{,}0\\ \mathrm{kPa},
temperatura T = 300\\ \mathrm{K} (mesma para os dois pontos).
O que se pede:
  • Calcular o grau de recobrimento \theta da superfície para P_1 e para P_2.

Passo 2

Explicando a isoterma de Langmuir (o modelo que descreve a adsorção aqui):
A isoterma de Langmuir diz que a fração da superfície coberta por moléculas, que chamamos de \theta, depende da pressão P assim:
\theta = \frac{K P}{1 + K P},
onde:
  • \theta é o grau de recobrimento (fração, varia entre 0 e 1);
  • K é a constante de equilíbrio de adsorção (depende da temperatura);
  • P é a pressão do gás.
Essa fórmula vem do equilíbrio entre adsorção e dessorção assumindo sítios idênticos e sem interação entre adsorvidos. Intuitivamente: para pressão pequena \theta \approx K P (proporcional à pressão); para pressão muito alta \theta \to 1 (saturação).

Passo 3

Relacionando massa adsorvida com \theta:
Se m_\infty é a massa máxima de CO adsorvível (massa quando toda a superfície está coberta, \theta=1), então a massa adsorvida m em qualquer pressão é
m = \theta\, m_\infty.
Substituindo \theta da Langmuir:
m = m_\infty \frac{K P}{1 + K P}.
Aqui as incógnitas são m_\infty e K. Temos duas medidas (m_1,P_1) e (m_2,P_2), logo podemos determinar m_\infty e K resolvendo o sistema formado por essas duas equações.

Passo 4

Escrevendo explicitamente as duas equações para os dados:
0,63 = m_\infty \frac{K\cdot 36{,}0}{1 + K\cdot 36{,}0},
0,21 = m_\infty \frac{K\cdot 4{,}0}{1 + K\cdot 4{,}0}.

Passo 5

Forma algébrica útil (linearização): dividir ambos os lados por m_\infty \dfrac{1}{m} = \dfrac{1}{m_\infty} + \dfrac{1}{m_\infty K}\cdot\dfrac{1}{P}. Vamos deduzir esse passo pois é muito prático na prova:
A partir de
m = m_\infty \frac{K P}{1 + K P},
invertemos:
\frac{1}{m} = \frac{1 + K P}{m_\infty K P} = \frac{1}{m_\infty}\cdot\frac{1}{K P} + \frac{1}{m_\infty} = \frac{1}{m_\infty} + \frac{1}{m_\infty K}\cdot\frac{1}{P}.
Isto é uma relação linear entre \dfrac{1}{m} e \dfrac{1}{P}:
\frac{1}{m} = \underbrace{\frac{1}{m_\infty}}_{\text{intercepto}} + \underbrace{\frac{1}{m_\infty K}}_{\text{coeficiente angular}}\cdot\frac{1}{P}.
Com duas observações podemos obter diretamente o intercepto e a inclinação e daí m_\infty e K.

Passo 6

Calculemos os recíprocos necessários (faço as contas passo a passo):
\frac{1}{m_1} = \frac{1}{0,63}\approx 1{,}587301587\\ \mathrm{mg}^{-1},
\frac{1}{m_2} = \frac{1}{0,21}\approx 4{,}761904762\\ \mathrm{mg}^{-1},
\frac{1}{P_1} = \frac{1}{36{,}0}\approx 0{,}02777777778\\ \mathrm{kPa}^{-1},
\frac{1}{P_2} = \frac{1}{4{,}0}=0{,}25\\ \mathrm{kPa}^{-1}.

Passo 7

Calculamos a inclinação s da reta \dfrac{1}{m} versus \dfrac{1}{P}:
s = \frac{\frac{1}{m_2}-\frac{1}{m_1}}{\frac{1}{P_2}-\frac{1}{P_1}} = \frac{4{,}761904762 - 1{,}587301587}{0{,}25 - 0{,}02777777778} \approx \frac{3{,}174603175}{0{,}22222222222} \approx 14{,}28321429\\ (\mathrm{mg}^{-1}\mathrm{kPa}).
Pela linearização, s = \dfrac{1}{m_\infty K}.

Passo 8

Calculamos o intercepto b = \dfrac{1}{m_\infty} usando um dos pontos, por exemplo o ponto 1:
\frac{1}{m_\infty} = \frac{1}{m_1} - s\cdot\frac{1}{P_1} = 1{,}587301587 - 14{,}28321429\cdot 0{,}02777777778 \approx 1{,}587301587 - 0{,}3964786963 \approx 1{,}1908228907\\ \mathrm{mg}^{-1}.
Logo
m_\infty = \frac{1}{1{,}1908228907} \approx 0{,}84\\ \mathrm{mg}.
(Nas contas que fiz fica exatamente m_\infty=0{,}84\\ \mathrm{mg} quando se simplifica racionalmente; é um valor conveniente para checar a consistência.)

Passo 9

Com m_\infty e s encontramos K pela relação s = \dfrac{1}{m_\infty K}, ou seja
K = \frac{1}{m_\infty s}.
Substituindo os valores:
K \approx \frac{1}{0{,}84 \times 14{,}28321429} \approx \frac{1}{12} = 0{,}083333\\ \mathrm{kPa}^{-1}.
De fato, com K=\dfrac{1}{12}\\ \mathrm{kPa}^{-1} e m_\infty=0{,}84\\ \mathrm{mg} os pontos dados se reproduzem exatamente.

Passo 10

Agora calculamos o grau de recobrimento \theta em cada pressão. Podemos usar \theta = \dfrac{m}{m_\infty} (mais direto) ou \theta=\dfrac{K P}{1+K P}. Faço as duas formas para mostrar consistência.
Para P_1=36{,}0\\ \mathrm{kPa}:
  • usando m:
\theta_1 = \frac{m_1}{m_\infty} = \frac{0{,}63}{0{,}84} = 0{,}75.
  • usando K:
K P_1 = \frac{1}{12}\cdot 36 = 3,\quad \theta_1 = \frac{3}{1+3} = \frac{3}{4} = 0{,}75.
Para P_2=4{,}0\\ \mathrm{kPa}:
  • usando m:
\theta_2 = \frac{m_2}{m_\infty} = \frac{0{,}21}{0{,}84} = 0{,}25.
  • usando K:
K P_2 = \frac{1}{12}\cdot 4 = \frac{1}{3},\quad \theta_2 = \frac{\tfrac{1}{3}}{1+\tfrac{1}{3}} = \frac{1}{4} = 0{,}25.
Interpretando: em 36{,}0\\ \mathrm{kPa} a superfície está 75\% recoberta; em 4{,}0\\ \mathrm{kPa} está 25\% recoberta.

Resposta

Para P=36{,}0\\ \mathrm{kPa}:\\ \theta = 0{,}75
Para P=4{,}0\\ \mathrm{kPa}:\\ \theta = 0{,}25

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