Certa amostra sólida adsorve 0,63 \mathrm{mg} de CO quando a pressão do gás é de 36,0 kPa e a temperatura, 300 K . A massa do gás adsorvido, quando a pressão é 4,0 \mathrm{kPa} e a temperatura é 300 K , é de 0,21 \mathrm{mg}. A adsorção é descrita pela isoterma de Langmuir. Encontre, em cada pressão, o grau de recobrimento da superfície.
Passo 1
O enunciado dá duas medidas de massa de CO adsorvido em uma amostra sólida, ambas à mesma temperatura 300\\ \mathrm{K}, para duas pressões diferentes, e pede o grau de recobrimento da superfície (fração de superfície ocupada) em cada pressão.
temperatura T = 300\\ \mathrm{K} (mesma para os dois pontos).
O que se pede:
Calcular o grau de recobrimento \theta da superfície para P_1 e para P_2.
Passo 2
Explicando a isoterma de Langmuir (o modelo que descreve a adsorção aqui):
A isoterma de Langmuir diz que a fração da superfície coberta por moléculas, que chamamos de \theta, depende da pressão P assim:
\theta = \frac{K P}{1 + K P},
onde:
\theta é o grau de recobrimento (fração, varia entre 0 e 1);
K é a constante de equilíbrio de adsorção (depende da temperatura);
P é a pressão do gás.
Essa fórmula vem do equilíbrio entre adsorção e dessorção assumindo sítios idênticos e sem interação entre adsorvidos. Intuitivamente: para pressão pequena \theta \approx K P (proporcional à pressão); para pressão muito alta \theta \to 1 (saturação).
Passo 3
Relacionando massa adsorvida com \theta:
Se m_\infty é a massa máxima de CO adsorvível (massa quando toda a superfície está coberta, \theta=1), então a massa adsorvida m em qualquer pressão é
m = \theta\, m_\infty.
Substituindo \theta da Langmuir:
m = m_\infty \frac{K P}{1 + K P}.
Aqui as incógnitas são m_\infty e K. Temos duas medidas (m_1,P_1) e (m_2,P_2), logo podemos determinar m_\infty e K resolvendo o sistema formado por essas duas equações.
Passo 4
Escrevendo explicitamente as duas equações para os dados:
Forma algébrica útil (linearização): dividir ambos os lados por m_\infty dá \dfrac{1}{m} = \dfrac{1}{m_\infty} + \dfrac{1}{m_\infty K}\cdot\dfrac{1}{P}. Vamos deduzir esse passo pois é muito prático na prova:
A partir de
m = m_\infty \frac{K P}{1 + K P},
invertemos:
\frac{1}{m} = \frac{1 + K P}{m_\infty K P} = \frac{1}{m_\infty}\cdot\frac{1}{K P} + \frac{1}{m_\infty} = \frac{1}{m_\infty} + \frac{1}{m_\infty K}\cdot\frac{1}{P}.
Isto é uma relação linear entre \dfrac{1}{m} e \dfrac{1}{P}:
(Nas contas que fiz fica exatamente m_\infty=0{,}84\\ \mathrm{mg} quando se simplifica racionalmente; é um valor conveniente para checar a consistência.)
Passo 9
Com m_\infty e s encontramos K pela relação s = \dfrac{1}{m_\infty K}, ou seja
K = \frac{1}{m_\infty s}.
Substituindo os valores:
K \approx \frac{1}{0{,}84 \times 14{,}28321429} \approx \frac{1}{12} = 0{,}083333\\ \mathrm{kPa}^{-1}.
De fato, com K=\dfrac{1}{12}\\ \mathrm{kPa}^{-1} e m_\infty=0{,}84\\ \mathrm{mg} os pontos dados se reproduzem exatamente.
Passo 10
Agora calculamos o grau de recobrimento \theta em cada pressão. Podemos usar \theta = \dfrac{m}{m_\infty} (mais direto) ou \theta=\dfrac{K P}{1+K P}. Faço as duas formas para mostrar consistência.