Uma certa amostra sólida adsorve 0,44 \mathrm{mg} de CO quando a pressão do gás é de 26,0 \mathrm{kPa} e a temperatura, 300 K . A massa do gás adsorvido, quando a pressão é 3,0 \mathrm{kPa} e a temperatura é 300 K , é de 0,19 \mathrm{mg}. A adsorção é descrita pela isoterma de Langmuir. Encontre, em cada pressão, o grau de recobrimento da superfície.
Uma certa amostra sólida adsorve 0,44 \mathrm{mg} de CO quando a pressão do gás é de 26,0 \mathrm{kPa} e a temperatura, 300 K . A massa do gás adsorvido, quando a pressão é 3,0 \mathrm{kPa} e a temperatura é 300 K , é de 0,19 \mathrm{mg}. A adsorção é descrita pela isoterma de Langmuir. Encontre, em cada pressão, o grau de recobrimento da superfície.

Passo 1

O enunciado pede: “Encontrar, em cada pressão, o grau de recobrimento da superfície.”
Informações dadas (vou listar direitinho para não perder nada):
\;m_1=0,44\\ \mathrm{mg} (massa adsorvida quando \;p_1=26,0\\ \mathrm{kPa}, \;T=300\\ \mathrm{K}).
\;m_2=0,19\\ \mathrm{mg} (massa adsorvida quando \;p_2=3,0\\ \mathrm{kPa}, \;T=300\\ \mathrm{K}).
A isoterma que descreve a adsorção é a de Langmuir.
A pergunta é: qual é o grau de recobrimento \theta em \;p_1 e \;p_2?

Passo 2

Vamos entender a isoterma de Langmuir (a explicação curta e prática que você precisa para a prova). A hipótese essencial é que a superfície tem um número fixo de sítios e cada sítio prende no máximo uma molécula; há equilíbrio entre moléculas no gás e no sítio. A fórmula para a fração de sítios ocupados (grau de recobrimento) é
\theta=\frac{Kp}{1+Kp},
onde:
  • \theta é o grau de recobrimento (fração entre 0 e 1);
  • \;p é a pressão do gás;
  • \;K é a constante de equilíbrio de adsorção (unidade \mathrm{kPa^{-1}} aqui).
Além disso, a massa adsorvida \;m é proporcional ao recobrimento: quando todos os sítios estão ocupados a massa adsorvida atinge um máximo \;m_{\text{sat}}. Logo
m=m_{\text{sat}}\theta.
Isso significa que, uma vez que conheçamos \;K e \;m_{\text{sat}}, podemos obter \theta em qualquer pressão.

Passo 3

Substituindo \theta em m=m_{\text{sat}}\theta obtemos a forma prática para as medições:
m = m_{\text{sat}}\frac{Kp}{1+Kp}.
Essa equação depende de duas incógnitas ( K e m_{\text{sat}}). Com as duas medidas (p_1,m_1) e (p_2,m_2) conseguimos determinar K e m_{\text{sat}}.

Passo 4

Para resolver de forma algébrica simples, linearizamos a equação. A partir de
m = m_{\text{sat}}\frac{Kp}{1+Kp}
multiplicamos ambos os lados por (1+Kp) e rearranjamos para obter a forma linear
\frac{p}{m}=\frac{1}{K m_{\text{sat}}}+\frac{1}{m_{\text{sat}}}p.
Interpretação dos termos:
  • intercepto A=\dfrac{1}{K m_{\text{sat}}};
  • coeficiente angular B=\dfrac{1}{m_{\text{sat}}}.
    Com dois pontos (p_1,m_1) e (p_2,m_2) podemos calcular B e A e daí m_{\text{sat}} e K.

Passo 5

Calcule \dfrac{p}{m} para as duas medidas (faço as contas passo a passo):
\frac{p_1}{m_1}=\frac{26,0}{0,44}=59,0909\\ \mathrm{kPa\;mg^{-1}}
(obtenho isto porque 26,0/0,44=2600/44\approx59,0909).
\frac{p_2}{m_2}=\frac{3,0}{0,19}=15,7895\\ \mathrm{kPa\;mg^{-1}}
( 3,0/0,19=300/19\approx15,7895 ).

Passo 6

Calcule o coeficiente angular B=\dfrac{1}{m_{\text{sat}}} usando a diferença entre os dois pontos:
B=\frac{\dfrac{p_1}{m_1}-\dfrac{p_2}{m_2}}{p_1-p_2} =\frac{59,0909-15,7895}{26,0-3,0} =\frac{43,3014}{23,0}=1,8827\\ \mathrm{mg^{-1}}.
Logo
m_{\text{sat}}=\frac{1}{B}=\frac{1}{1,8827}=0,5312\\ \mathrm{mg}.

Passo 7

Agora o intercepto A e a constante K. Use A=\dfrac{p_1}{m_1}-B p_1:
A=59,0909-1,8827\times26,0=59,0909-48,9498=10,1411\\ \mathrm{kPa\;mg^{-1}}.
Como A=\dfrac{1}{K m_{\text{sat}}}, temos
K=\frac{1}{A m_{\text{sat}}}=\frac{1}{10,1411\times0,5312}=0,1855\\ \mathrm{kPa^{-1}}.

Passo 8

Com m_{\text{sat}} e K encontramos \theta em cada pressão. Use a fórmula \theta=\dfrac{Kp}{1+Kp} ou simplesmente \theta=\dfrac{m}{m_{\text{sat}}} (são equivalentes; vou mostrar as duas para conferência).
Para \;p_1=26,0\\ \mathrm{kPa}:
Kp_1=0,1855\times26,0=4,823\quad\Rightarrow\quad \theta_1=\frac{4,823}{1+4,823}=\frac{4,823}{5,823}=0,828.
Confirmação pela massa: \dfrac{m_1}{m_{\text{sat}}}=\dfrac{0,44}{0,5312}=0,828 (mesmo resultado).
Para \;p_2=3,0\\ \mathrm{kPa}:
Kp_2=0,1855\times3,0=0,5565\quad\Rightarrow\quad \theta_2=\frac{0,5565}{1+0,5565}=\frac{0,5565}{1,5565}=0,358.
Confirmação pela massa: \dfrac{m_2}{m_{\text{sat}}}=\dfrac{0,19}{0,5312}=0,358.

Passo 9

Resumo numérico e checagem: m_{\text{sat}}\approx0,5312\\ \mathrm{mg} e K\approx0,1855\\ \mathrm{kPa^{-1}}. As frações de recobrimento obtidas conferem com as massas medidas (ou seja, a modelagem está consistente). Força aí — esta é a maneira que você deve usar na prova quando der dois pontos na isoterma de Langmuir.

Resposta

Para \;p=26,0\\ \mathrm{kPa}: \theta\approx0,828 ( 82,8\%).
Para \;p=3,0\\ \mathrm{kPa}: \theta\approx0,358 ( 35,8\%).

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