A adsorção de \mathrm{N}_{2} em carvão ativo ocorre na proporção de 0,921 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{g} a 490 kPa e 190 K , porém, para se alcançar a mesma proporção a 250 K , deve-se aumentar a pressão para 3,2 \mathrm{MPa}. Determine a entalpia de adsorção de nitrogênio em carvão ativo.

Passo 1

O enunciado dá que a mesma quantidade adsorvida ( 0,921\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{g}) é obtida em duas condições diferentes e pede a entalpia de adsorção. Dados fornecidos:
p_{1}=490\\ \mathrm{kPa},\quad T_{1}=190\\ \mathrm{K}
p_{2}=3{,}2\\ \mathrm{MPa},\quad T_{2}=250\\ \mathrm{K}
A pergunta explícita é: determinar a entalpia de adsorção do nitrogênio no carvão ativo (usar os dados acima).

Passo 2

Qual a relação que liga pressão e temperatura para a mesma quantidade adsorvida? Aqui usamos a relação tipo Clausius–Clapeyron para isósteras (isto é, para pressão de equilíbrio à quantidade fixa). A forma usada é:
\left(\frac{\partial \ln p}{\partial (1/T)}\right)_{n}=-\frac{\Delta h_{\text{ads}}}{R},
onde:
  • \ln p é o logaritmo natural da pressão de equilíbrio do gás;
  • T é a temperatura absoluta (em K);
  • n indica que a derivada é feita à quantidade adsorvida constante (isóstera);
  • \Delta h_{\text{ads}} é a entalpia (ou calor) de adsorção que queremos;
  • R é a constante universal dos gases ( R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}).
Explicando intuitivamente: essa equação diz que, para manter a mesma quantidade adsorvida, a pressão de equilíbrio muda com a temperatura de forma controlada pela entalpia de adsorção.

Passo 3

Integramos a expressão entre os dois pontos conhecidos ( (p_{1},T_{1}) e (p_{2},T_{2})) à isóstera para obter uma forma prática:
\ln\!\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)=-\frac{\Delta h_{\text{ads}}}{R}\left(\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}\right).
Essa fórmula é obtida porque a derivada de \ln p em relação a 1/T é constante (ou assumimos que \Delta h_{\text{ads}} é aproximadamente constante entre as duas temperaturas consideradas), então integrando a expressão diferencial chegamos a essa equação. Todas as quantidades aí são conhecidas, exceto \Delta h_{\text{ads}}.

Passo 4

Isolamos \Delta h_{\text{ads}} da equação anterior:
\Delta h_{\text{ads}} = -R\;\frac{\ln\!\left(\dfrac{p_{2}}{p_{1}}\right)}{\dfrac{1}{T_{2}}-\dfrac{1}{T_{1}}}.
Observação importante sobre sinais: com essa definição, o resultado costuma ser positivo quando a adsorção é exotérmica (o que é o caso usual). Muitos autores chamam isso de “calor de adsorção” e reportam o valor positivo. Aqui seguiremos essa convenção (resultado positivo indica calor liberado).

Passo 5

Antes de calcular, colocamos as pressões em mesmas unidades para formar a razão (a razão é adimensional, então qualquer unidade consistente serve). Convertemos p_{2} para \mathrm{kPa}:
p_{1}=490\\ \mathrm{kPa},\qquad p_{2}=3{,}2\\ \mathrm{MPa}=3200\\ \mathrm{kPa}.
Calculamos a razão e seu logaritmo:
\frac{p_{2}}{p_{1}}=\frac{3200}{490}=6{,}5306122449\ldots
\ln\!\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)\approx 1{,}876\quad(\text{valor calculado})

Passo 6

Calculamos a diferença de inversos de temperatura:
\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}=\frac{1}{250}-\frac{1}{190}=0{,}004000-0{,}0052631579=-0{,}0012631579\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 7

Agora substituímos tudo na fórmula de \Delta h_{\text{ads}}. Usando R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}:
\Delta h_{\text{ads}} = -8{,}314462618\cdot\frac{1{,}876}{-0{,}0012631579}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Calculando o numerador:
8{,}314462618\times 1{,}876 \approx 15{,}60\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Dividindo pelo denominador absoluto:
\Delta h_{\text{ads}} \approx \frac{15{,}60}{0{,}0012631579}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}\approx 12350\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.

Passo 8

Convertendo para unidades mais usuais (kJ mol ^{-1}):
\Delta h_{\text{ads}}\approx 12{,}35\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
Interpretação: esse valor positivo representa o calor de adsorção (energia liberada) por mol de \mathrm{N_{2}} adsorvido — ou seja, a adsorção é exotérmica e libera cerca de 12{,}35\\ \mathrm{kJ} por mol.

Resposta

12{,}35\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}

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