Uma adutora deve conduzir por gravidade 284400 \mathrm{I} / hora com um desnível de 16,8 \mathrm{~m} e com um comprimento de 5 Km . Utilizar Hazen-Willians.
Qual o diâmetro da adutora para PVC ( \mathrm{C}=150 )

Passo 1

O enunciado pede que determinemos o diâmetro de uma adutora de PVC (coeficiente de Hazen–Williams C=150) que deve conduzir por gravidade 284400\\ \mathrm{I/h} com um desnível disponível de 16,8\\ \mathrm{m} ao longo de um comprimento de 5\\ \mathrm{km}.\n
Dados fornecidos (explicitados):
Q = 284400\\ \mathrm{L/h}
\Delta h = 16{,}8\\ \mathrm{m}
L = 5\\ \mathrm{km}
C = 150

Passo 2

Breve explicação do método (Hazen–Williams) e definição das variáveis:\n
Hazen–Williams é uma fórmula empírica usada para estimar perda de carga por atrito em tubulações com escoamento de água limpa. Na forma utilizada em unidades SI a perda de carga total h_f (em metros) ao longo de um comprimento L (em metros) é dada por:
h_f = 10{,}67 \; \frac{L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\;d^{4{,}871}}
onde:
  • h_f é a perda de carga (m) — aqui corresponde ao desnível disponível \Delta h;
  • L é o comprimento da tubulação (m);
  • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s});
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional), dado C=150 para PVC;
  • d é o diâmetro interno da tubulação (m).\n
    Nossa meta é encontrar d tal que a perda de carga calculada por Hazen–Williams seja igual ao desnível disponível \Delta h.

Passo 3

Conversão de unidades (muito importante para não errar):\n
Converter Q de \mathrm{L/h} para \mathrm{m^3/s}:\n
Q = 284400\\ \mathrm{L/h} = 284400\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3/h} = 284{,}4\\ \mathrm{m^3/h}.
Agora dividir por 3600 para obter \mathrm{m^3/s}:
Q = \frac{284{,}4}{3600}\\ \mathrm{m^3/s} = 0{,}079\\ \mathrm{m^3/s}.
Converter comprimento:\n
L = 5\\ \mathrm{km} = 5000\\ \mathrm{m}.
A perda de carga disponível é
h_f = \Delta h = 16{,}8\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Isolando d na fórmula de Hazen–Williams: começamos de
h_f = 10{,}67\; \frac{L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\;d^{4{,}871}}.
Rearranjando para d^{4{,}871}:
d^{4{,}871} = 10{,}67\; \frac{L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\;h_f}.
Logo
d = \left(10{,}67\; \frac{L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\;h_f}\right)^{\frac{1}{4{,}871}}.
Agora vamos calcular cada termo numérico.

Passo 5

Cálculo passo a passo dos termos numéricos:\n
Calcular Q^{1{,}852}:
Q^{1{,}852} = (0{,}079)^{1{,}852} \approx 0{,}009095.
Calcular C^{1{,}852}:
C^{1{,}852} = (150)^{1{,}852} \approx 10719.
Calcular o numerador 10{,}67\;L\;Q^{1{,}852}:
10{,}67 \times 5000 \times 0{,}009095 \approx 485{,}22.
Calcular o denominador C^{1{,}852}\;h_f:
10719 \times 16{,}8 \approx 180079{,}2.
Formar a razão:
\frac{10{,}67\;L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\;h_f} \approx \frac{485{,}22}{180079{,}2} \approx 0{,}0026958.

Passo 6

Aplicar a potência para obter d:\n
d = (0{,}0026958)^{\frac{1}{4{,}871}}.
Calcular o expoente:
\frac{1}{4{,}871} \approx 0{,}20529.
Logo
d \approx \exp\!\Big(\ln(0{,}0026958)\times 0{,}20529\Big).
Cálculo numérico (mostrando o resultado final):
d \approx 0{,}297\\ \mathrm{m}.
Ou seja, diâmetro interno aproximado 0{,}297\\ \mathrm{m}, que em mm é 297\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Verificação rápida da velocidade (para checar se o resultado faz sentido prático):\n
Área da seção transversal:
A = \frac{\pi d^{2}}{4} = \frac{\pi (0{,}297)^{2}}{4} \approx 0{,}0693\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média:
v = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}079}{0{,}0693} \approx 1{,}14\\ \mathrm{m/s}.
Velocidade de 1{,}14\\ \mathrm{m/s} é um valor típico e aceitável para adutoras de água (não é nem muito baixa nem excessivamente alta), então o diâmetro calculado faz sentido prático.\n
Adotar diâmetro comercial: como tubos comerciais vêm em bitolas padronizadas, adota-se a próxima bitola comercial igual ou imediatamente superior a 297\\ \mathrm{mm}, ou seja, 300\\ \mathrm{mm} (PVC DN 300).

Resposta

Diâmetro interno calculado \approx 0{,}297\\ \mathrm{m} (aprox. 297\\ \mathrm{mm}).\nAdotar tubo PVC comercial: 300\\ \mathrm{mm} (DN 300).

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