Que vazão poderá transportar uma adutora de 12" de diâmetro, de tubos de aço ( \mathrm{C}=120 ), sendo o desnível de 38,4 \mathrm{~m} e comprimento da tubulação 4,8 \mathrm{~km} ?

Passo 1

O enunciado pede a vazão que a adutora transporta, dada a queda de carga e o comprimento. Informações fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Diâmetro nominal: }12'' \\\ &\text{Coeficiente de Hazen–Williams: }C=120 \\\ &\text{Desnível (queda de carga): }h_f=38{,}4\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Comprimento da tubulação: }L=4{,}8\\ \mathrm{km} \end{aligned}âíçã
Converte-se para unidades SI usadas na fórmula:
\begin{aligned} &12'' = 12\times 0{,}0254 = 0{,}3048\\ \mathrm{m} \quad(\text{diâmetro }D)\\\ &L=4{,}8\\ \mathrm{km}=4800\\ \mathrm{m}. \end{aligned}â

Passo 2

Vamos usar a fórmula de Hazen–Williams que relaciona perda de carga h_f, vazão Q, comprimento L, diâmetro D e coeficiente C. Uma forma prática desta fórmula em unidades SI é:
h_f=\frac{10{,}67\,L}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}871}}\,Q^{1{,}852},
onde
\begin{aligned} &h_f\\ \text{é a perda de carga (m)},\\\ &L\\ \text{é o comprimento da tubulação (m)},\\\ &D\\ \text{é o diâmetro interno do tubo (m)},\\\ &C\\ \text{é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional)},\\\ &Q\\ \text{é a vazão volumétrica (m}^3\!/\mathrm{s)}. \end{aligned}ééçãéâééãé
Explicando levemente: a fórmula é empírica para escoamento de água em condutas pressurizadas; o expoente 1{,}852 e as potências de D vêm do ajuste experimental do modelo.

Passo 3

Isolamos Q na expressão acima. Reorganizando:
Q=\left(\frac{h_f\,C^{1{,}852}\,D^{4{,}871}}{10{,}67\,L}\right)^{\frac{1}{1{,}852}}.
Esta é a fórmula que vamos avaliar numericamente com os dados convertidos no Passo 1.

Passo 4

Substituímos os valores numéricos (tudo em SI). Primeiro computamos a inclinação de energia média:
S=\frac{h_f}{L}=\frac{38{,}4}{4800}=0{,}008.
Agora calculamos os termos que entram na fórmula:
\begin{aligned} &C^{1{,}852}=120^{1{,}852}\approx 7089\quad(\text{valor calculado pela potência}),\\[4pt] &D^{4{,}871}=(0{,}3048)^{4{,}871}\approx 0{,}003074. \end{aligned}ê
Multiplicando os fatores do numerador:
h_f\,C^{1{,}852}\,D^{4{,}871}\approx 38{,}4\times 7089\times 0{,}003074 \approx 836{,}80.
O denominador é
10{,}67\,L=10{,}67\times 4800=51\,216.
Portanto a fração dentro da potência é
\frac{h_f\,C^{1{,}852}\,D^{4{,}871}}{10{,}67\,L}\approx\frac{836{,}80}{51\,216}\approx 0{,}016345.]

Passo 5

Aplicamos a potência de ordem \frac{1}{1{,}852} (aproximadamente 0{,}53996):
Q \approx (0{,}016345)^{0{,}53996}\approx 0{,}1087\\ \mathrm{m^3/s}.
Convertendo para litros por segundo:
Q\approx 0{,}1087\\ \mathrm{m^3/s}=108{,}7\\ \mathrm{L/s}.
Arredondando para três algarismos significativos, fica 0{,}109\\ \mathrm{m^3/s} (ou 109\\ \mathrm{L/s}).

Passo 6

Resumo rápido do raciocínio para a prova: use a fórmula empírica de Hazen–Williams, deixe tudo em SI (m, m^3/s), isole Q e calcule passo a passo os termos C^{1{,}852} e D^{4{,}871}. Se não der tempo de calcular potências manualmente, faça logaritmos ou use uma calculadora para as potências; o processo algébrico é sempre o mesmo.

Resposta

Q=0{,}109\\ \mathrm{m^3/s} (aprox.) =109\\ \mathrm{L/s}

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