Uma adutora fornece a vazão de
, através de uma tubulação de aço soldado revestida com esmalte (
), diâmetro de 400 mm e 2 km de extensão. Determinar a perda de carga na tubulação, por meio da equação de Hazen-Williams (
), e comparar com a fórmula universal de perda de carga.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede o que está descrito abaixo:
Dados fornecidos:
O que pedir:
- Determinar a perda de carga na tubulação usando a equação de Hazen–Williams.
- Determinar a perda de carga usando a fórmula universal (Darcy–Weisbach).
- Comparar os resultados.
Observações de unidades (a serem usadas nos cálculos): converter litros por segundo para metros cúbicos por segundo, milímetros para metros e quilômetros para metros. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Conversão de unidades e cálculo de grandezas geométricas básicas (tudo mostrado passo a passo).
Converter vazão:
Converter diâmetro e rugosidade:
Converter comprimento:
Área da secção e velocidade média (serão úteis para Darcy–Weisbach):
Área:
Área:
Velocidade média:
Passo 3
Hazen–Williams: fórmula, significado das variáveis e limites de aplicação (aula rápida e prática).
A equação empírica de Hazen–Williams para perda de carga em água, em unidades SI com
em
,
em
e
em
, pode ser escrita como:
onde:
-
é a perda de carga (m), -
é o comprimento da tubulação (m), -
é a vazão (m^3/s), -
é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional, depende do material), -
é o diâmetro interno da tubulação (m).
Observação didática: Hazen–Williams é empírica, válida para água em regime turbulento e normalmente usada para redes de água potável; não depende explicitamente da viscosidade e dá resultados ótimos para temperaturas próximas às usuais (10–20 °C).
Passo 4
Aplicando Hazen–Williams com os valores do problema (cálculos detalhados).
Calcular as potências necessárias:
Substituindo na fórmula:
Calcular numerador e denominador:
Portanto:
Arredondando de forma prática (uma casa decimal) temos
.
Passo 5
Darcy–Weisbach: fórmula, significado das variáveis e estratégia para obter o fator de atrito
.
A equação universal (Darcy–Weisbach) para perda de carga por atrito é:
onde:
-
é o fator de atrito (adimensional), -
e já conhecidos, -
é a velocidade média (m/s), -
é a aceleração da gravidade.
O principal desafio é determinar
. Para isso precisamos do número de Reynolds e da rugosidade relativa
; em regime turbulento usamos fórmulas implícitas como Colebrook ou explícitas aproximadas como Swamee–Jain. Vou usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (rápida e precisa para engenharia):
Passo 6
Cálculo do número de Reynolds (explicando o que significa) e da rugosidade relativa.
Número de Reynolds:
Aqui precisamos assumir a viscosidade cinemática
. Para água a cerca de
usamos
(valor padrão em problemas de graduação).
Calcular:
Rugosidade relativa:
Interpretação didática:
indica regime turbulento; rugosidade relativa
é típica de tubos de aço com revestimento — estamos no regime turbulento com influência da rugosidade.
Passo 7
Cálculo do fator de atrito
com Swamee–Jain (detalhando cada termo).
Primeiro calculamos
:
Calcular os termos dentro do logaritmo:
Somando:
Agora o logaritmo e
:
Comentário didático: esse valor de
é razoável para tubulação lisa a moderadamente rugosa em regime turbulento; se usássemos Colebrook iterativo obteríamos valor muito próximo.
Passo 8
Cálculo da perda de carga com Darcy–Weisbach (substituindo
,
,
e
).
Calcular
:
Calcular
:
Substituir na fórmula de Darcy–Weisbach:
Calcular:
Arredondando de forma prática (uma casa decimal) obtemos
. Se arredondarmos com menos precisão, e dependendo da fórmula explícita ou iteração usada para
, é comum encontrar
. O resultado é compatível com o valor de referência do enunciado.
Passo 9
Comparação dos resultados e interpretação física (motivo da proximidade dos valores).
Resultados obtidos (aproximações):
Comentário didático e prático:
- As duas fórmulas dão valores próximos porque ambas representam perda por atrito em regime turbulento para água; Hazen–Williams é empírica e costuma ser calibrada por
para o material (aqui para aço esmaltado), enquanto Darcy–Weisbach é mais geral e exige o fator determinado por rugosidade e Reynolds. - Pequenas diferenças decorrem de aproximações numéricas, da dependência empírica de Hazen–Williams e da forma de obter
(Swamee–Jain é uma aproximação explícita da Colebrook). Em engenharia, essa proximidade é aceitável e ambas as fórmulas são usadas conforme a conveniência.