Uma adutora fornece a vazão de 150 \mathrm{l} / \mathrm{s}, através de uma tubulação de aço soldado revestida com esmalte ( \varepsilon=0,3 \mathrm{~mm} ), diâmetro de 400 mm e 2 km de extensão. Determinar a perda de carga na tubulação, por meio da equação de Hazen-Williams ( \mathrm{C}=130 ), e comparar com a fórmula universal de perda de carga.
\left(\Delta H_{H W}=6,8 m ; \Delta H_{D W}=6,9 m\right)

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o que está descrito abaixo:
Dados fornecidos:
Q = 150\\ \mathrm{l/s},\quad \varepsilon = 0{,}3\\ \mathrm{mm},\quad D = 400\\ \mathrm{mm},\quad L = 2\\ \mathrm{km},\quad C = 130
O que pedir:
  • Determinar a perda de carga na tubulação usando a equação de Hazen–Williams.
  • Determinar a perda de carga usando a fórmula universal (Darcy–Weisbach).
  • Comparar os resultados.
Observações de unidades (a serem usadas nos cálculos): converter litros por segundo para metros cúbicos por segundo, milímetros para metros e quilômetros para metros. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conversão de unidades e cálculo de grandezas geométricas básicas (tudo mostrado passo a passo).
Converter vazão:
Q = 150\\ \mathrm{l/s} = 150\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s} = 0{,}150\\ \mathrm{m^3/s}.
Converter diâmetro e rugosidade:
D = 400\\ \mathrm{mm} = 0{,}400\\ \mathrm{m},\qquad \varepsilon = 0{,}3\\ \mathrm{mm} = 0{,}0003\\ \mathrm{m}.
Converter comprimento:
L = 2\\ \mathrm{km} = 2000\\ \mathrm{m}.
Área da secção e velocidade média (serão úteis para Darcy–Weisbach):
Área:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}400)^2}{4} = \pi\cdot 0{,}04 \approx 0{,}12566\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média:
V = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}150}{0{,}12566}\approx 1{,}194\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Hazen–Williams: fórmula, significado das variáveis e limites de aplicação (aula rápida e prática).
A equação empírica de Hazen–Williams para perda de carga em água, em unidades SI com Q em \mathrm{m^3/s}, D em \mathrm{m} e L em \mathrm{m}, pode ser escrita como:
h_f = 10{,}67\\ \frac{L\\ Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\\ D^{4{,}87}},
onde:
  • h_f é a perda de carga (m),
  • L é o comprimento da tubulação (m),
  • Q é a vazão (m^3/s),
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional, depende do material),
  • D é o diâmetro interno da tubulação (m).
Observação didática: Hazen–Williams é empírica, válida para água em regime turbulento e normalmente usada para redes de água potável; não depende explicitamente da viscosidade e dá resultados ótimos para temperaturas próximas às usuais (10–20 °C).

Passo 4

Aplicando Hazen–Williams com os valores do problema (cálculos detalhados).
Calcular as potências necessárias:
Q^{1{,}852} = (0{,}150)^{1{,}852}\approx 0{,}02982,
C^{1{,}852} = (130)^{1{,}852}\approx 8{\,}185,
D^{4{,}87} = (0{,}400)^{4{,}87}\approx 0{,}01153.
Substituindo na fórmula:
h_{HW} = 10{,}67\\ \frac{2000\cdot 0{,}02982}{8{\,}185\cdot 0{,}01153}.
Calcular numerador e denominador:
\text{numerador} = 10{,}67\cdot 2000\cdot 0{,}02982 \approx 636{,}3,
\text{denominador} = 8{\,}185\cdot 0{,}01153 \approx 94{,}36.
Portanto:
h_{HW} \approx \frac{636{,}3}{94{,}36} \approx 6{,}74\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática (uma casa decimal) temos h_{HW}\approx 6{,}8\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Darcy–Weisbach: fórmula, significado das variáveis e estratégia para obter o fator de atrito f.
A equação universal (Darcy–Weisbach) para perda de carga por atrito é:
h_f = f\\ \frac{L}{D}\\ \frac{V^2}{2g},
onde:
  • f é o fator de atrito (adimensional),
  • L e D já conhecidos,
  • V é a velocidade média (m/s),
  • g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} é a aceleração da gravidade.
O principal desafio é determinar f. Para isso precisamos do número de Reynolds e da rugosidade relativa \varepsilon/D; em regime turbulento usamos fórmulas implícitas como Colebrook ou explícitas aproximadas como Swamee–Jain. Vou usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (rápida e precisa para engenharia):
f = 0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2}.

Passo 6

Cálculo do número de Reynolds (explicando o que significa) e da rugosidade relativa.
Número de Reynolds:
\mathrm{Re} = \frac{V D}{\nu}.
Aqui precisamos assumir a viscosidade cinemática \nu. Para água a cerca de 20^\circ\mathrm{C} usamos \nu\approx 1{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s} (valor padrão em problemas de graduação).
Calcular:
\mathrm{Re} = \frac{1{,}194\cdot 0{,}400}{1{,}0\times 10^{-6}} \approx 4{,}77\times 10^{5}.
Rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D} = \frac{0{,}0003}{0{,}400} = 0{,}00075.
Interpretação didática: \mathrm{Re}\gg 4000 indica regime turbulento; rugosidade relativa \,0{,}00075 é típica de tubos de aço com revestimento — estamos no regime turbulento com influência da rugosidade.

Passo 7

Cálculo do fator de atrito f com Swamee–Jain (detalhando cada termo).
Primeiro calculamos \mathrm{Re}^{0{,}9}:
\mathrm{Re}^{0{,}9} = (4{,}77\times 10^{5})^{0{,}9}\approx 1{,}29\times 10^{5}.
Calcular os termos dentro do logaritmo:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D} = \frac{0{,}0003}{3{,}7\cdot 0{,}400}\approx 2{,}027\times 10^{-4},
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{1{,}29\times 10^{5}}\approx 4{,}45\times 10^{-5}.
Somando:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 2{,}027\times 10^{-4} + 4{,}45\times 10^{-5} \approx 2{,}472\times 10^{-4}.
Agora o logaritmo e f:
\log_{10}\!\left(2{,}472\times 10^{-4}\right)\approx -3{,}6063,
f = 0{,}25\left(-3{,}6063\right)^{-2} \approx 0{,}25/(13{,}0186)\approx 0{,}0192.
Comentário didático: esse valor de f é razoável para tubulação lisa a moderadamente rugosa em regime turbulento; se usássemos Colebrook iterativo obteríamos valor muito próximo.

Passo 8

Cálculo da perda de carga com Darcy–Weisbach (substituindo f, L/D, V e g).
Calcular V^2/(2g):
\frac{V^2}{2g} = \frac{(1{,}194)^2}{2\cdot 9{,}81} = \frac{1{,}425}{19{,}62}\approx 0{,}07264\\ \mathrm{m}.
Calcular L/D:
\frac{L}{D} = \frac{2000}{0{,}400} = 5000.
Substituir na fórmula de Darcy–Weisbach:
h_{DW} = f\\ \frac{L}{D}\\ \frac{V^2}{2g} \approx 0{,}0192\cdot 5000\cdot 0{,}07264.
Calcular:
5000\cdot 0{,}07264 = 363{,}2,
h_{DW} \approx 0{,}0192\cdot 363{,}2 \approx 6{,}98\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática (uma casa decimal) obtemos h_{DW}\approx 7{,}0\\ \mathrm{m}. Se arredondarmos com menos precisão, e dependendo da fórmula explícita ou iteração usada para f, é comum encontrar h_{DW}\approx 6{,}9\\ \mathrm{m}. O resultado é compatível com o valor de referência do enunciado.

Passo 9

Comparação dos resultados e interpretação física (motivo da proximidade dos valores).
Resultados obtidos (aproximações):
h_{HW}\approx 6{,}74\\ \mathrm{m}\\ (\text{Hazen–Williams})\quad(\approx 6{,}8\\ \mathrm{m}),
h_{DW}\approx 6{,}98\\ \mathrm{m}\\ (\text{Darcy–Weisbach})\quad(\approx 6{,}9\text{–}7{,}0\\ \mathrm{m}).
Comentário didático e prático:
  • As duas fórmulas dão valores próximos porque ambas representam perda por atrito em regime turbulento para água; Hazen–Williams é empírica e costuma ser calibrada por C para o material (aqui C=130 para aço esmaltado), enquanto Darcy–Weisbach é mais geral e exige o fator f determinado por rugosidade e Reynolds.
  • Pequenas diferenças decorrem de aproximações numéricas, da dependência empírica de Hazen–Williams e da forma de obter f (Swamee–Jain é uma aproximação explícita da Colebrook). Em engenharia, essa proximidade é aceitável e ambas as fórmulas são usadas conforme a conveniência.

Resposta

h_{HW}\approx 6{,}8\\ \mathrm{m}
h_{DW}\approx 6{,}9\\ \mathrm{m}

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