Seja uma LTSP com \mathrm{Z} 0=70 \Omega e carga \mathrm{ZL}=-\mathrm{j} 140 \Omega. Determine o menor comprimento da linha para o qual a impedância de entrada é igual a:
(a) j70 \Omega)

Passo 1

O enunciado dá: Z_0=70\\ \Omega (impedância característica da linha) e Z_L=-\mathrm{j}\,140\\ \Omega (carga). Pede-se o menor comprimento da linha tal que a impedância de entrada seja \mathrm{j}\,70\\ \Omega.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Z_0=70\\ \Omega.
  • Z_L=-\mathrm{j}\,140\\ \Omega.
  • Queremos Z_{\text{in}}=\mathrm{j}\,70\\ \Omega.
  • A linha é tratada como perda-less (LTSP), portanto usaremos a fórmula padrão da linha sem perdas.

Passo 2

Vou usar a fórmula padrão da impedância de entrada de uma linha de transmissão sem perdas. Ela é:
Z_{\text{in}}=Z_0\;\frac{Z_L+\mathrm{j}Z_0\tan\beta l}{Z_0+\mathrm{j}Z_L\tan\beta l},
onde:
  • Z_{\text{in}} é a impedância vista na entrada da linha;
  • Z_0 é a impedância característica da linha;
  • Z_L é a impedância da carga;
  • \beta é a constante de fase da linha ( \beta=2\pi/\lambda);
  • l é o comprimento elétrico da linha;
  • \tan\beta l significa \tan(\beta l). \n
    Essa fórmula vem da solução da equação das ondas na linha e da condição de correspondência das tensões e correntes na carga.

Passo 3

Para simplificar o cálculo é comum usar impedâncias normalizadas. Defino:
z_L=\frac{Z_L}{Z_0},\qquad z_{\text{in}}=\frac{Z_{\text{in}}}{Z_0}.
Com os valores dados:
z_L=\frac{-\mathrm{j}\,140}{70}=-\mathrm{j}\,2.
O alvo é
z_{\text{in}}=\frac{\mathrm{j}\,70}{70}=\mathrm{j}\,1=\mathrm{j}.

Passo 4

A fórmula normalizada da impedância de entrada é
z_{\text{in}}=\frac{z_L+\mathrm{j}\tan\theta}{1+\mathrm{j}z_L\tan\theta},
onde usei \theta=\beta l (o comprimento elétrico). Substituindo z_L=-\mathrm{j}2 obtemos passo a passo:
  • Numerador:
z_L+\mathrm{j}\tan\theta=-\mathrm{j}2+\mathrm{j}\tan\theta=\mathrm{j}\,(-2+\tan\theta).
  • Denominador:
1+\mathrm{j}z_L\tan\theta=1+\mathrm{j}(-\mathrm{j}2)\tan\theta=1+2\tan\theta,
pois \mathrm{j}(-\mathrm{j}2)=2. Portanto
z_{\text{in}}=\frac{\mathrm{j}\,(-2+\tan\theta)}{1+2\tan\theta}.

Passo 5

Queremos z_{\text{in}}=\mathrm{j}. Igualando:
\frac{\mathrm{j}\,(-2+\tan\theta)}{1+2\tan\theta}=\mathrm{j}.
Cancelando \mathrm{j} dos dois lados (fator comum não nulo) dá uma equação real:
\frac{-2+\tan\theta}{1+2\tan\theta}=1.
Resolvo essa equação:
-2+\tan\theta = 1 + 2\tan\theta
-2 -1 = 2\tan\theta - \tan\theta
-3 = \tan\theta
Logo
\tan\theta = -3.

Passo 6

Agora encontro as soluções para \theta. A função tangente é periódica de período \pi, então as soluções gerais são
\theta = \arctan(-3) + n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Como \arctan(-3)=-\arctan(3), uma forma útil é
\theta = -\arctan(3) + n\pi.
Queremos o menor comprimento físico positivo, portanto o menor \theta>0. Tomando n=1 obtemos
\theta = -\arctan(3)+\pi=\pi-\arctan(3).
Calculo numérico de \arctan(3):
\arctan(3)\approx 1{,}249045772\\ \text{rad}\approx 71{,}565^\circ.
Então
\theta=\pi-\arctan(3)\approx 3{,}141592654-1{,}249045772=1{,}892546882\\ \text{rad},
que em graus é
\theta\approx 108{,}435^\circ.

Passo 7

Converto o comprimento elétrico \theta em comprimento físico l. Como \beta=2\pi/\lambda e \theta=\beta l, temos
l=\frac{\theta}{\beta}=\frac{\theta}{2\pi}\,\lambda.
Portanto a menor fração da onda é
\frac{l}{\lambda}=\frac{\theta}{2\pi}=\frac{\pi-\arctan(3)}{2\pi}.
Cálculo numérico:
\frac{l}{\lambda}\approx\frac{1{,}892546882}{6{,}283185307}\approx 0{,}301163.
Em termos práticos:
l\approx 0{,}301163\,\lambda\approx 0{,}3012\,\lambda,
ou seja cerca de 30{,}12\% do comprimento de onda. Outra forma de escrever a resposta exata é
l=\frac{\pi-\arctan(3)}{2\pi}\,\lambda.

Resposta

\displaystyle l=\frac{\pi-\arctan(3)}{2\pi}\,\lambda\approx 0{,}301163\,\lambda

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