Seja uma LTSP com
e carga
. Determine o menor comprimento da linha para o qual a impedância de entrada é igual a:
(a) j70
)
(a) j70
Passo 1
O enunciado dá:
(impedância característica da linha) e
(carga). Pede-se o menor comprimento da linha tal que a impedância de entrada seja
.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. -
. - Queremos
. - A linha é tratada como perda-less (LTSP), portanto usaremos a fórmula padrão da linha sem perdas.
Passo 2
Vou usar a fórmula padrão da impedância de entrada de uma linha de transmissão sem perdas. Ela é:
onde:
-
é a impedância vista na entrada da linha; -
é a impedância característica da linha; -
é a impedância da carga; -
é a constante de fase da linha ( ); -
é o comprimento elétrico da linha; -
significa . \n
Essa fórmula vem da solução da equação das ondas na linha e da condição de correspondência das tensões e correntes na carga.
Passo 3
Para simplificar o cálculo é comum usar impedâncias normalizadas. Defino:
Com os valores dados:
O alvo é
Passo 4
A fórmula normalizada da impedância de entrada é
onde usei
(o comprimento elétrico). Substituindo
obtemos passo a passo:
- Numerador:
- Denominador:
pois
. Portanto
Passo 5
Queremos
. Igualando:
Cancelando
dos dois lados (fator comum não nulo) dá uma equação real:
Resolvo essa equação:
Logo
Passo 6
Agora encontro as soluções para
. A função tangente é periódica de período
, então as soluções gerais são
Como
, uma forma útil é
Queremos o menor comprimento físico positivo, portanto o menor
. Tomando
obtemos
Calculo numérico de
:
Então
que em graus é
Passo 7
Converto o comprimento elétrico
em comprimento físico
. Como
e
, temos
Portanto a menor fração da onda é
Cálculo numérico:
Em termos práticos:
ou seja cerca de
do comprimento de onda. Outra forma de escrever a resposta exata é