Uma canalização de ferro fundido novo, com 250 mm de diâmetro é alimentada por um reservatório cujo nível está na cota 22 . Calcular a pressão no ponto de cota 180, a 1500 m do reservatório, para a vazão de 40 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. (Usar Hazen-Williams; \mathrm{C}=130 ). \boldsymbol{(} \mathbf{p} \boldsymbol{=} \mathbf{3 5 6 , 5} \mathbf{~ k P a} \boldsymbol{)}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a pressão no ponto pedido:
  • Diâmetro da tubulação: D=250\\ \mathrm{mm}.
  • Distância entre reservatório e ponto: L=1500\\ \mathrm{m}.
  • Nível do reservatório: cota 22 (o enunciado traz “22 .” — isso é ambíguo; para obter um resultado físico (pressão positiva) interpreto que o nível é cota 220. Se o reservatório realmente estivesse em cota 22, o ponto a cota 180 estaria muito acima e a pressão seria negativa — impossível sem sucção). Vou portanto usar a cota do reservatório \;z_{res}=220.
  • Cota do ponto onde se quer a pressão: z_{p}=180.
  • Vazão: Q=40\\ \mathrm{L/s}.
  • Coeficiente de Hazen–Williams: C=130.
  • O enunciado pede: calcular a pressão no ponto de cota 180, a 1500\\ \mathrm{m} do reservatório, para Q=40\\ \mathrm{L/s}.
    Observações do passo: listei os dados e deixei explícita a suposição que fiz (reservatório em cota 220) porque o enunciado tinha um número ambíguo.

Passo 2

Converto para unidades SI (m e m^3/s) — é fundamental para usar as fórmulas sem confusão:
  • Diâmetro: D=250\\ \mathrm{mm}=0{,}250\\ \mathrm{m}.
  • Vazão: Q=40\\ \mathrm{L/s}=0{,}040\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Comprimento: L=1500\\ \mathrm{m}.
  • Diferença de cota (cabeceira menos ponto): \Delta z = z_{res}-z_{p}=220-180=40\\ \mathrm{m}.
    Explicação curta: usar SI evita fatores de conversão escondidos nas fórmulas; daqui por diante D em metros e Q em m^3/s.

Passo 3

Apresento a fórmula de perda de carga de Hazen–Williams (forma usual em unidades SI):
h_f = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}}
onde:
  • h_f é a perda de carga (m) ao longo do trecho de comprimento L,
  • L é o comprimento (m),
  • Q é a vazão (m^3/s),
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional),
  • D é o diâmetro interno (m).
    Breve didática: Hazen–Williams é uma fórmula empírica usada para água limpa em condutas, que relaciona perda de carga com vazão por uma potência ( 1{,}852) e com o diâmetro por outra potência ( 4{,}87). O fator 10{,}67 é a constante para manter unidades SI nessa forma da equação.

Passo 4

Calculo as potências necessárias, mostrando passo a passo (para você poder repetir na prova):
  • Calcular Q^{1{,}852} com Q=0{,}040\\ \mathrm{m^3/s}. Q^{1{,}852} = (0{,}040)^{1{,}852}\approx 0{,}002579Como obter isso na prova: você pode usar logaritmos rápidos ou uma calculadora. Aqui mostro o número resultante para seguir com a conta.
  • Calcular C^{1{,}852} com C=130: C^{1{,}852} = 130^{1{,}852}\approx 8{,}221\times 10^{3}
  • Calcular D^{4{,}87} com D=0{,}250\\ \mathrm{m}: D^{4{,}87} = (0{,}250)^{4{,}87}\approx 1{,}167\times 10^{-3}
Explicando os números: uso aproximações numéricas razoavelmente precisas; na prova, faça logaritmo ou calculadora científica para obter esses valores.

Passo 5

Substituo na fórmula de Hazen–Williams e calculo h_f:
h_f = 10{,}67\;\frac{1500\cdot 0{,}002579}{(8{,}221\times 10^{3})\cdot(1{,}167\times 10^{-3})}
Agora calculo passo a passo:
  • Numerador: 1500\cdot 0{,}002579 = 3{,}8685.
  • Numerador total: 10{,}67\cdot 3{,}8685 \approx 41{,}28.
  • Denominador: (8{,}221\times 10^{3})\cdot(1{,}167\times 10^{-3}) \approx 9{,}593.
  • Resultado: h_f \approx \frac{41{,}28}{9{,}593}\approx 4{,}30\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a perda de carga ao longo dos 1500\\ \mathrm{m} é cerca de 4{,}30\\ \mathrm{m} de coluna de água.

Passo 6

Agora uso a relação de energia (versão simplificada da equação de Bernoulli entre superfície livre do reservatório e o ponto na tubulação, desprezando velocidade no reservatório):
\frac{p}{\rho g} + z_p = z_{res} - h_f,
onde:
  • \frac{p}{\rho g} é a carga de pressão no ponto (m),
  • z_p é a cota do ponto (m),
  • z_{res} é a cota da superfície livre do reservatório (m),
  • h_f é perda de carga (m).
    Rearranjando para a pressão:
\frac{p}{\rho g} = z_{res}-z_p - h_f = \Delta z - h_f.
Substituo valores:
\frac{p}{\rho g} = 40{,}00 - 4{,}30 = 35{,}70\\ \mathrm{m}.
Explicação: isso significa que, depois de descontar as perdas por atrito, ainda restam 35{,}70\\ \mathrm{m} de coluna de água convertíveis em pressão no ponto.

Passo 7

Converto a carga de pressão em pressão absoluta (em Pa e depois kPa). Uso \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}:
p = \rho g \left(\frac{p}{\rho g}\right) = 1000\cdot 9{,}81 \cdot 35{,}70 \\ \mathrm{Pa}.
Calculo:
p \approx 1000\cdot 9{,}81 \cdot 35{,}70 \approx 350{,}2\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}=350{,}2\\ \mathrm{kPa}.
Breve comentário: essa é a pressão estática no ponto (acima da pressão atmosférica), expressa em kPa. Se quiser em m.c.a. (metros de coluna de água), é precisamente 35{,}70\\ \mathrm{m} de água.

Resposta

p \approx 350{,}2\\ \mathrm{kPa}

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