Se as adutoras da SABESP apresentam um vazamento por dia por 10 km de linha, qual a chance de se encontrar, em uma inspeção de um trecho qualquer de 5 km : (a) só um vazamento? (b) entre um e três vazamentos? (c) pelo menos um vazamento? (d) mais de dois vazamentos?
a) 0,3033
b) 0,3917
c) 0,3935
d) 0,0144

Passo 1

O enunciado diz que as adutoras apresentam, em média, 1 vazamento por dia em 10 km de linha, e pede as probabilidades de encontrar certo número de vazamentos em um trecho de 5 km. O conteúdo usado aqui é a distribuição de Poisson, cuja função massa de probabilidade (PMF) é
P(N=k)=lambda^ke^-lambdak!,
onde lambda é o valor esperado de ocorrências no intervalo considerado.

Passo 2

Calculemos o parâmetro lambda para 5 km. Como a taxa é de 1 vazamento em 10 km, temos
lambda = 1 times 510 = 0,5

Passo 3

Para (a), queremos P(N=1). Aplicando a PMF com k=1:
P(N=1)=0,5^1e^-0,51! =0,5,e^-0,5approx0,3033

Passo 4

Para (b), queremos P(1<= N<=3)=P(N=1)+P(N=2)+P(N=3). Já temos P(N=1).
P(N=2)=0,5^2e^-0,52! =0,252,e^-0,5approx0,0758,
P(N=3)=0,5^3e^-0,53! =0,1256,e^-0,5approx0,0126
Somando,
P(1<= N<=3)approx0,3033+0,0758+0,0126=0,3917

Passo 5

Para (c), P(N>=1)=1-P(N=0). E
P(N=0)=0,5^0e^-0,50!=e^-0,5approx0,6065
Logo
P(N>=1)=1-0,6065=0,3935

Passo 6

Para (d), P(N>2)=1-[P(N=0)+P(N=1)+P(N=2)]. Já temos esses valores:
P(N=0)+P(N=1)+P(N=2)approx0,6065+0,3033+0,0758=0,9856
Então
P(N>2)=1-0,9856=0,0144

Resposta

a) 0,3033
b) 0,3917
c) 0,3935
d) 0,0144

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