3- Um aerofólio metálico de seção transversal elíptica tem massa de 50 kg , área superficial de 12 \mathrm{m}^{2} e calor específico de 0,50 \mathrm{~kJ} /\left(\mathrm{kg} .^{\circ} \mathrm{C}\right). O aerofólio está sujeito a um escoamento de ar a 1 atm , 25^{\circ} \mathrm{C} e 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ao longo de seu lado de 3 m de comprimento. A temperatura média do aerofólio cai de 160^{\circ} \mathrm{C} para 150^{\circ} \mathrm{C} após 2 minutos de resfriamento. Supondo que a temperatura da superfície do aerofólio é homogênea e usando analogia entre quantidade de movimento e transferência de calor, determine o coeficiente de atrito médio.
Resp: 0,000227

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o coeficiente de atrito médio do aerofólio:
  • Massa: m=50\\ \mathrm{kg}.
  • Área superficial: A=12\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Calor específico: c=0,50\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot ^\circ C)} (vou converter para unidades SI abaixo).
  • Condições do ar: pressão 1\\ \mathrm{atm}, temperatura 25^\circ\mathrm{C} e velocidade U=8\\ \mathrm{m/s}.
  • Comprimento do lado: 3\\ \mathrm{m} (informação geométrica disponível).
  • Temperatura média do aerofólio cai de 160^\circ\mathrm{C} para 150^\circ\mathrm{C} em 2 minutos.
  • Suposição: temperatura da superfície homogênea (modelo de capacidade térmica concentrada — lumped capacitance).
O que é pedido: o coeficiente de atrito médio (coeficiente de atrito de parede médio), denotado por C_f, usando a analogia entre quantidade de movimento e transferência de calor.

Passo 2

Planejamento físico e escolha do modelo (explicando a ideia na prática)
  • Como a temperatura do corpo é homogênea, podemos usar o modelo de capacidade térmica concentrada (lumped capacitance). Esse modelo parte de que toda a massa tem a mesma temperatura e que a troca de calor com o fluido é descrita pela Lei de Resfriamento de Newton:
T(t)-T_\infty = \bigl(T_0-T_\infty\bigr)\exp\!\left(-\frac{hA}{mc}\,t\right),
onde:
  • T(t) é a temperatura no tempo t,
  • T_\infty é a temperatura do fluido (ar),
  • T_0 é a temperatura inicial do sólido,
  • h é o coeficiente de transferência de calor por convecção que queremos obter (primeiro passo),
  • A é a área de troca,
  • m é a massa do corpo,
  • c é o calor específico do corpo,
  • t é o tempo.
  • Da equação acima isolamos h:
h = -\frac{mc}{A t}\ln\!\left(\frac{T(t)-T_\infty}{T_0-T_\infty}\right).
Vou usar essa relação para achar h a partir da queda de temperatura observada.

Passo 3

Conversões e inserção dos números para calcular h
  • Converter c para SI: c=0,50\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot ^\circ C)} = 500\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Tempo: t=2\\ \mathrm{min}=120\\ \mathrm{s}.
  • Temperaturas: T_0=160^\circ\mathrm{C}, T(t)=150^\circ\mathrm{C}, T_\infty=25^\circ\mathrm{C}.
Calcule a razão dentro do logaritmo:
\frac{T(t)-T_\infty}{T_0-T_\infty}=\frac{150-25}{160-25}=\frac{125}{135}= \frac{25}{27}\approx 0,9259259.
O logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{25}{27}\right)\approx -0,07696104.
Agora aplique a fórmula de h:
h = -\frac{mc}{A t}\ln\!\left(\frac{T(t)-T_\infty}{T_0-T_\infty}\right) = -\frac{50\cdot 500}{12\cdot 120}\cdot(-0,07696104).
Calcule passo a passo:
\frac{mc}{A t}=\frac{50\cdot 500}{12\cdot 120}=\frac{25000}{1440}\approx 17,361111.
h \approx 17,361111\times 0,07696104 \approx 1,3370\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Portanto:
h\approx 1,337\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.

Passo 4

Definição do número de Stanton e ligação com atrito (introdução didática)
  • O número de Stanton St é uma medida adimensional da eficiência da convecção térmica definida por:
St=\frac{h}{\rho U c_p},
onde:
  • h é o coeficiente de convecção (já obtido),
  • \rho é a densidade do fluido (ar),
  • U é a velocidade do fluido distante da parede,
  • c_p é o calor específico do fluido a pressão constante.
  • A analogia entre quantidade de movimento e transferência de calor relaciona St com o coeficiente de atrito de superfície C_f. A forma mais adequada quando o número de Prandtl Pr não é exatamente 1 é a analogia de Colburn (uma versão refinada da analogia de Reynolds), que usa o parâmetro de Colburn j:
j = St\; Pr^{2/3},
e a analogia de Colburn afirma que
j = \frac{C_f}{2}.
Logo, isolando C_f,
C_f = 2\,St\,Pr^{2/3}.
Explicando: quando Pr\neq 1 (no ar Pr\sim 0,7), é mais correto usar essa correção Pr^{2/3} para ajustar a diferença entre difusão térmica e difusão de quantidade de movimento.

Passo 5

Escolha e valores das propriedades do ar (justificando escolhas numéricas)
  • Propriedades do ar à 25^\circ\mathrm{C}, 1\\ \mathrm{atm} (valores típicos que usamos em provas):
    • Densidade: \rho\approx 1,184\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • Calor específico: vou usar c_p\approx 1000\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (valor redondo e comum em estimativas; usar 1005 dá resultado muito parecido).
    • Número de Prandtl: Pr\approx 0,72 (valor típico para o ar à temperatura ambiente).
Esses números são razoáveis e comuns em exercícios de transferência de calor; com eles obteremos o coeficiente de atrito médio via analogia de Colburn.

Passo 6

Cálculo do número de Stanton St
Use:
St=\frac{h}{\rho U c_p}.
Substituindo:
St=\frac{1,337}{1,184\cdot 8\cdot 1000}.
Calcule o denominador:
\rho U c_p = 1,184\cdot 8\cdot 1000 = 9472\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Portanto:
St \approx \frac{1,337}{9472}\approx 1,411\times 10^{-4}.

Passo 7

Cálculo de Pr^{2/3} e aplicação da analogia de Colburn
  • Primeiro calcule Pr^{2/3} com Pr=0,72:
Pr^{2/3} = 0,72^{2/3}\approx 0,8036.
  • Agora use C_f = 2\,St\,Pr^{2/3}:
C_f = 2\cdot(1,411\times 10^{-4})\cdot 0,8036.
Calcule:
C_f \approx 2\cdot 1,411\times 10^{-4}\cdot 0,8036 \approx 2,267\times 10^{-4}.
Arredondando com formato decimal comum:
C_f \approx 0,000227.

Resposta

0,000227

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