Um prédio residencial de 3 andares possui 12 moradias ( 4 por andar). Cada moradia consome, em média, 600 litros de água por dia, com o consumo distribuído uniformemente ao longo de 10 horas diárias. A água é bombeada de um reservatório inferior (ao nível do solo) até um reservatório superior instalado a uma altura equivalente ao topo do prédio, ou seja, 9 metros acima do nível do reservatório inferior. A tubulação vertical (recalque) que leva água da bomba até o reservatório superior possui um comprimento total de 14 metros, considerando curvas e conexões. Os componentes do sistema hidráulico introduzem perdas de carga localizadas equivalentes a K=7, em que K é o somatório dos coeficientes de perda para válvulas, curvas, registros etc.
a) Estime a vazão média em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} necessária para abastecer o prédio.
b) Admitindo que o regime de escoamento seja turbulento plenamente desenvolvido, calcule o diâmetro interno mínimo da tubulação que permita o bombeamento da água, considerando que a perda de carga total (distribuída + localizada) não deve ultrapassar 18 metros de coluna d’água (m.c.a).
I) Considere os seguintes dados:
\begin{aligned} & \rho=1.000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \\\ & \mu=1,0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{~s} \\\ & \varepsilon=0,00015 \mathrm{~m}(\text { tubo de PVC }) \end{aligned}
II) Para escolha do diâmetro da tubulação, utilize a tabela abaixo
Table 1: Tabela 1 - Diâmetros comerciais de tubos de PVC soldável
\captionsetup{labelformat=empty}
Diâmetro Nominal (pol) DN (mm) Diâmetro Interno (mm)
1 / 2^{\prime \prime} 20 15,0
3 / 4^{\prime \prime} 25 20,0
1^{\prime \prime} 32 26,6
11 / 4^{\prime \prime} 40 35,0
11 / 2^{\prime \prime} 50 42,0
2^{\prime \prime} 60 53,0
III) Para determinar o fator de atrito de Darcy, utilize o gráfico de Moody e a equação de Swamee-Jain.
f=\frac{0,25}{\left[\log \left(\frac{\varepsilon}{3,7 D}+\frac{5,74}{R e^{0,9}}\right)\right]^{2}}

Passo 1

O problema pede duas coisas:
  1. Estimar a vazão média necessária para abastecer o prédio em unidades de \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  2. Determinar o diâmetro interno mínimo da tubulação (entre os diâmetros comerciais da tabela) que permita bombear a água, admitindo escoamento turbulento plenamente desenvolvido e exigindo que a perda de carga total (distribuída + localizada) não ultrapasse 18 metros de coluna d’água ( \mathrm{m.c.a.}).
Informações fornecidas (vou listar todos os dados numéricos que vamos usar):
\begin{aligned} &\text{Número de moradias} = 12\\\ &\text{Consumo médio por moradia} = 600\\ \mathrm{L/dia} = 0{,}600\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{dia}\\\ &\text{Período de consumo uniforme} = 10\\ \mathrm{h/dia}\\\ &\text{Altura do topo do prédio (reservatório superior)} = 9\\ \mathrm{m}\\ (\text{fornecido, apenas informação})\\\ &\text{Comprimento da tubulação (recalque)} = L = 14\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Somatório das perdas localizadas} = K = 7\\\ &\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3},\quad \mu = 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}\\\ &\varepsilon = 0{,}00015\\ \mathrm{m}\\ (\text{tubo de PVC})\\\ &\text{Perda de carga total permitida} = 18\\ \mathrm{m.c.a.} \end{aligned}úéíéóçãçãó
Tabela de diâmetros internos (extraída do enunciado):
\begin{aligned} &15{,}0\\ \mathrm{mm},\\\ 20{,}0\\ \mathrm{mm},\\\ 26{,}6\\ \mathrm{mm},\\\ 35{,}0\\ \mathrm{mm},\\\ 42{,}0\\ \mathrm{mm},\\\ 53{,}0\\ \mathrm{mm} \end{aligned}

Passo 2

Cálculo da vazão média do prédio (parte a). Processo: somar o consumo diário total e dividir pelas horas de fornecimento convertidas para segundos.
Volume total por dia:
V_{\text{dia}} = 12 \times 0{,}600\\ \mathrm{m}^3 = 7{,}2\\ \mathrm{m}^3.
Tempo de fornecimento por dia:
t = 10\\ \mathrm{h} = 10 \times 3600\\ \mathrm{s} = 36\,000\\ \mathrm{s}.
Logo a vazão média necessária é
Q = \frac{V_{\text{dia}}}{t} = \frac{7{,}2}{36\,000}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} = 0{,}0002\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
(ou 2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}). Parabéns — a vazão é bem pequena, por isso as velocidades ficam moderadas mesmo em tubos menores.

Passo 3

Explicar a equação de perda de carga que vamos usar (passo didático). A perda de carga total (energia perdida por unidade de peso de fluido) é a soma da perda distribuída (por atrito ao longo do tubo, dada por Darcy–Weisbach) e das perdas localizadas (válvulas, curvas etc.):
Perda distribuída (Darcy–Weisbach):
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde:
  • h_f é a perda distribuída (m),
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
  • L é o comprimento da tubulação (m),
  • D é o diâmetro interno (m),
  • V é a velocidade média do fluido na seção (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
Perda localizada total:
h_{\text{loc}} = K\,\frac{V^2}{2g},
onde K é o somatório dos coeficientes de perda local (adimensional).
Assim a perda de carga total é:
h_{\text{total}} = \left(f\,\frac{L}{D} + K\right)\frac{V^2}{2g}.
Também relacionamos vazão e velocidade pela área:
V = \frac{Q}{A} = \frac{4Q}{\pi D^2}.
O fator de atrito f para regime turbulento será obtido pela fórmula de Swamee–Jain:
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2},
com
\mathrm{Re} = \frac{\rho V D}{\mu}.
Condição exigida pelo enunciado:
h_{\text{total}} \le 18\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Estratégia prática (por que não resolvemos simbolicamente para D): como f depende de D e de \mathrm{Re} de forma não trivial, a maneira mais direta é testar os diâmetros comerciais da tabela (do menor para o maior) calculando V,\\ \mathrm{Re},\\ f, e h_{\text{total}} e aceitar o primeiro diâmetro cujo h_{\text{total}}\le18\\ \mathrm{m}. Vou mostrar todos os cálculos detalhados para o menor diâmetro e explicar como verificar a condição de turbulência plenamente desenvolvida.

Passo 5

Cálculo detalhado para o menor diâmetro da tabela: D = 15{,}0\\ \mathrm{mm} = 0{,}015\\ \mathrm{m}.
Área:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}015)^2}{4} \approx 1{,}7671\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
Velocidade média:
V = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}0002}{1{,}7671\times10^{-4}} \approx 1{,}1317\\ \mathrm{m/s}.
Número de Reynolds:
\mathrm{Re} = \frac{\rho V D}{\mu} = \frac{1000 \times 1{,}1317 \times 0{,}015}{1{,}0\times10^{-3}} \approx 16\,975 \\ (\approx 1{,}70\times10^{4}).
Esse valor indica regime turbulento (bem acima de 4{,}000), ou seja, a hipótese de turbulência plenamente desenvolvida é válida aqui.

Passo 6

Calcular o fator de atrito f usando Swamee–Jain para D=0{,}015\\ \mathrm{m}. Primeiro os termos intermediários:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D} = \frac{0{,}00015}{3{,}7\times0{,}015} \approx 0{,}0027027.
Estimativa de \mathrm{Re}^{0{,}9}:
\mathrm{Re}^{0{,}9} \approx 16\,975^{0{,}9}\approx 6{,}400\\ (\text{aprox.; cálculo via logaritmo}).á
Então
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{6{,}400} \approx 0{,}000897.
Soma dentro do logaritmo:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx 0{,}0027027 + 0{,}000897 \approx 0{,}003600.
Agora o Swamee–Jain:
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}(0{,}003600)\right]^2}.
\log_{10}(0{,}003600)\approx -2{,}4437,\quad \left[\log_{10}(\cdot)\right]^2\approx 5{,}973.
f \approx \frac{0{,}25}{5{,}973} \approx 0{,}04186.

Passo 7

Calcular a perda de carga total para D=0{,}015\\ \mathrm{m}.
Coeficiente multiplicador da velocidade:
f\frac{L}{D} + K = 0{,}04186\times\frac{14}{0{,}015} + 7 = 0{,}04186\times933{,}333 + 7 \approx 39{,}049 + 7 \approx 46{,}049.
Termo cinético:
\frac{V^2}{2g} = \frac{(1{,}1317)^2}{2\times9{,}81} = \frac{1{,}2808}{19{,}62} \approx 0{,}06529\\ \mathrm{m}.
Perda de carga total:
h_{\text{total}} = \left(f\frac{L}{D} + K\right)\frac{V^2}{2g} \approx 46{,}049 \times 0{,}06529 \approx 3{,}005\\ \mathrm{m}.
Comparação com o limite permitido:
3{,}005\\ \mathrm{m} \le 18\\ \mathrm{m}\quad\checkmark
Portanto o menor diâmetro testado ( D=15{,}0\\ \mathrm{mm}) satisfaz a exigência de perda de carga máxima.

Passo 8

Checagens finais e comentário didático:
  • O número de Reynolds calculado foi \mathrm{Re}\approx1{,}70\times10^{4}, confirmando regime turbulento — logo o uso da fórmula de Swamee–Jain e do gráfico de Moody é apropriado.
  • A perda de carga ficou bem abaixo do limite de 18\\ \mathrm{m}, então, entre as opções comerciais apresentadas, o diâmetro interno mínimo que atende à especificação é D=15{,}0\\ \mathrm{mm} (tubo nominal 1/2'', DN 20).
  • Observação prática: embora 15 mm seja suficiente do ponto de vista hidráulico, em projetos reais costuma-se avaliar também aspectos de operação (queda de pressão em pontos remotos, futuras ampliações, manutenção). Mas para a questão da prova e com os dados dados, 15{,}0\\ \mathrm{mm} é a escolha correta.

Resposta

(a) \;Q = 0{,}0002\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
(b) \;D_{\min} = 15{,}0\\ \mathrm{mm} (tubo nominal 1/2'', DN 20).

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