7- Considere duas grandes placas de aço com 2 cm de espessura (
e
) que foram colocadas juntas enquanto molhadas e deixadas do lado de fora durante uma noite fria de inverno a
. No dia seguinte, um trabalhador precisa de um dos pratos, mas as placas estão grudadas porque o congelamento da água entre as duas placas as uniu. Em um esforço para derreter o gelo entre as placas e separá-las, o trabalhador pega um secador de cabelo grande e sopra ar quente a
sobre a superfície exposta da placa na parte superior. O o coeficiente de transferência de calor na superfície superior é estimado em
. Determine quanto tempo o trabalhador deve manter ar quente até que as duas placas se separem.
Resp: 482 s
Resp: 482 s
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pedido: determinar quanto tempo o trabalhador deve soprar ar quente até que as duas placas se separem. Para que elas se separem é suficiente derreter o gelo que está entre as duas placas; portanto precisamos elevar a temperatura da face interna da placa superior até
(temperatura de fusão do gelo). - Dados do enunciado:
- O que precisamos alcançar: temperatura da face interna da placa superior igual a
. - Observação: o enunciado não dá densidade nem calor específico do aço. Usaremos valores típicos do aço carbono para poder calcular: densidade
e calor específico . Vou explicitar essa escolha quando aplicar as fórmulas.
Passo 2
Escolha do método de solução (justificativa).
- Existem duas abordagens comuns: resolver a equação do calor transiente (distribuição espacial de temperatura) ou usar o método da capacidade térmica concentrada (lumped-capacitance), que trata o corpo como tendo temperatura praticamente uniforme no espaço que varia só com o tempo.
- Para decidir, calculamos o número de Biot
Substituindo: - Regra prática: se
podemos usar o método lumped-capacitance com boa precisão (a resistência térmica interna por condução é pequena em comparação com a resistência na superfície). - Conclusão: como
, a placa pode ser tratada como tendo temperatura praticamente uniforme ao longo da espessura enquanto aquece. Isso simplifica muito o problema e é o método apropriado aqui.
Passo 3
Formulação do modelo lumped-capacitance (derivação).
- Consideramos a placa superior como um elemento de espessura
e área . A variação de energia térmica por unidade de área é dada por: onde é o fluxo convectivo por unidade de área vindo do secador. - Pela lei de Newton do resfriamento/aquecimento:
- Substituindo:
- Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos resolvê-la para
com a condição inicial .
Passo 4
Solução da equação diferencial (expressão do tempo para atingir
).
- Reescrevendo a equação:
- Solução (exponencial decaindo) é
- Queremos achar
tal que . Isolando :
Reescrevendo de modo mais claro (usando
no numerador):
Passo 5
Cálculo numérico passo a passo e interpretação dos termos.
- Substituímos os valores escolhidos:
- Primeiro calculamos o produto
(isso tem unidades de J/(m^2\cdot ^\circ C), é a “capacidade térmica por unidade de área”): - A constante de tempo (por unidade de área) é
(essa é a escala de tempo para aquecimento; depois aparecerá multiplicada pelo logaritmo). - Agora calculamos o argumento do logaritmo:
- O logaritmo:
- Finalmente:
- Interpretação: o valor de
justificou tratar a placa como de temperatura quase uniforme; o tempo obtido é o tempo necessário para que a placa superior, de modo praticamente uniforme, aqueça de até sob a convecção quente dada. Quando a face interna atinge , o gelo ao contato começa a fundir e as placas podem ser separadas.
Resposta
482 s