Uma aeronave de alto desempenho possui a seguinte equação para a polar de arrasto:
C_{D}=C_{D_{0}}+k C_{L}^{2}
onde C_{L} é o coeficiente de sustentação e C_{D} é o coeficiente de arrasto.
Além disso, sabe-se que a autonomia (E) desta aeronave é dada pela seguinte equação:
E=\frac{1}{T S F C} \cdot\left(\frac{C_{L}}{C_{D}}\right) \cdot \ln \left(\frac{W_{i}}{W_{f}}\right)

Dados:

  • coeficiente de arrasto de perfil: C_{D_{0}}=0,1;
  • coeficiente de arrasto parasita: k=0,001;
  • massa inicial da aeronave: W_{i}=11000 \mathrm{~kg};
  • massa final da aeronave: W_{f}=8800 \mathrm{~kg};
  • consumo de combustível específico de empuxo: T S F C=0,8 / \mathrm{h};
  • \ln (1,25)=\log _{e}(1,25) \approx 0,2, onde e é o número Neperiano.
Diante do exposto, pede-se:
a) a partir da equação da polar de arrasto, derive a expressão que fornece a máxima razão sustentação / arrasto \left(\frac{L}{D}\right)_{\text {max }}=\left(\frac{C_{L}}{C_{D}}\right)_{\text {max }};
b) a partir dos resultados obtidos no item a), determine a máxima autonomia da aeronave, em horas.

Passo 1

O enunciado dá a polar de arrasto
C_{D} = C_{D_{0}} + k\,C_{L}^{2}
e diz que a autonomia é
E = \frac{1}{\mathrm{TSFC}}\;\frac{C_{L}}{C_{D}}\;\ln\!\biggl(\frac{W_{i}}{W_{f}}\biggr).
Queremos, a) maximizar \tfrac{C_{L}}{C_{D}} em função de C_{L}, e b) usar esse valor máximo para calcular E.

Passo 2

Para achar o máximo de \frac{C_{L}}{C_{D}} = \frac{C_{L}}{C_{D_{0}} + k\,C_{L}^{2}} derivamos em relação a C_{L} e igualamos a zero:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}C_{L}}\!\Bigl(\frac{C_{L}}{C_{D_{0}}+k\,C_{L}^{2}}\Bigr) =0 \;\Rightarrow\; C_{D_{0}} - k\,C_{L}^{2} = 0 \;\Rightarrow\; C_{L} = \sqrt{\frac{C_{D_{0}}}{k}}.
Substituindo em \frac{C_{L}}{C_{D}} obtém-se
\bigl(\tfrac{C_{L}}{C_{D}}\bigr)_{\max} = \frac{\sqrt{C_{D_{0}/k}}}{C_{D_{0}} + k\,(C_{D_{0}/k})} = \frac{\sqrt{C_{D_{0}/k}}}{2\,C_{D_{0}}} = \frac{1}{2\,\sqrt{k\,C_{D_{0}}}}.

Passo 3

Agora, com C_{D_{0}}=0,1 e k=0,001 temos
\sqrt{k\,C_{D_{0}}} = \sqrt{0,001\times0,1} = \sqrt{0,0001} = 0,01 \;\Longrightarrow\; \bigl(\tfrac{C_{L}}{C_{D}}\bigr)_{\max} = \frac{1}{2\times0,01} = 50.
Usando \ln(W_{i}/W_{f}) = 0,2 e \mathrm{TSFC}=0,8/\mathrm{h}:
E_{\max} = \frac{1}{0,8}\times50\times0,2 = 1,25\times10 = 12,5\;\mathrm{h}.

Resposta

(a) \displaystyle \bigl(\tfrac{L}{D}\bigr)_{\max} = \frac{1}{2\,\sqrt{k\,C_{D_{0}}}}.
(b) E_{\max} = 12{,}5\;\mathrm{h}.

Exercícios relacionados