O campo de velocidade obtido durante a análise de um protótipo de asa é dado por:
u=\frac{y x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}} \quad \text { e } \quad v=-\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} .

Dados:

  • Transformação para coordenadas polares: x=r \cos \theta e y=r \sin \theta;
  • Componente radial da velocidade de escoamento: V_{r}=u \cos \theta+v \sin \theta;
  • Componente tangencial da velocidade de escoamento: V_{\theta}=-u \sin \theta+v \cos \theta; e
  • Circulação do escoamento: \Gamma=\oint_{C} \vec{V} \cdot d \vec{s}, em que \vec{V} \cdot d \vec{s}=\left(V_{r} \vec{e}_{r}+V_{\theta} \vec{e}_{\theta}\right) \cdot\left(d r \vec{e}_{r}+r d \theta \vec{e}_{\theta}\right).
Diante do exposto, e aplicando o Teorema de Kutta-Joukowski:
Calcule a circulação do escoamento.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidades em coordenadas cartesianas
u(x,y)=\frac{yx}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}},\quad v(x,y)=-\frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}
e pede a circulação
\Gamma=\oint_{C}\vec V\cdot d\vec s
Usaremos a transformação para coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e as fórmulas
V_{r}=u\cos\theta+v\sin\theta,\quad V_{\theta}=-\,u\sin\theta+v\cos\theta,
além de
\Gamma=\oint_{C}(V_{r}\,dr + V_{\theta}\,r\,d\theta)\,.

Passo 2

Convertendo u e v para polares, com r^{2}=x^{2}+y^{2}:
u=\frac{(r\sin\theta)(r\cos\theta)}{r^{3}} =\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}, \qquad v=-\frac{(r\cos\theta)^{2}}{r^{3}} =-\frac{\cos^{2}\theta}{r}.

Passo 3

Calculamos V_{r} e V_{\theta}:
V_{r} = u\cos\theta + v\sin\theta =\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}\cos\theta -\frac{\cos^{2}\theta}{r}\sin\theta =\frac{\sin\theta\cos^{2}\theta-\sin\theta\cos^{2}\theta}{r} =0,
V_{\theta} =-\,u\sin\theta + v\cos\theta =-\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}\sin\theta -\frac{\cos^{2}\theta}{r}\cos\theta =-\frac{\cos\theta(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)}{r} =-\frac{\cos\theta}{r}.

Passo 4

Para uma curva C fixa em r=\text{const}, temos dr=0 e
\Gamma =\oint_{C}V_{\theta}\,r\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\Bigl(-\frac{\cos\theta}{r}\Bigr)r\,d\theta =-\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta.

Passo 5

Avaliaremos a integral:
-\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta =-\bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{2\pi} =-(\sin2\pi-\sin0) =0.

Resposta

\displaystyle \Gamma=0

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