Uma aeronave está voando sob as condições de temperatura T=300 \mathrm{~K}, pressão P=100 \mathrm{kPa}, densidade do ar \rho=1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e velocidade V=238 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Dados:

  • constante universal dos gases perfeitos: R=287 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~K}};
  • coeficiente de expansão adiabática: \gamma=1,4;
  • valores (temperatura, pressão e densidade) críticos no ponto sônico: T^{*}, P^{*}, \rho^{*};
  • valores (temperatura, pressão e densidade) totais: T_{0}, P_{0}, \rho_{0};
  • número de Mach: M
  • relação entre temperatura total ( T_{0} ) e temperatura estática ( T ):
\frac{T_{0}}{T}=1+\frac{\gamma-1}{2} M^{2}
  • \sqrt{4,018} \approx 2;
  • \sqrt{3} \approx 1,7;
  • \sqrt{2} \approx 1,4;
  • Para \gamma=1,4 :
\begin{aligned} & \frac{T^{*}}{T_{0}}=0,8 \\\ & \frac{P^{*}}{P_{0}}=0,5 \\\ & \frac{\rho^{*}}{\rho_{0}}=0,6 ; \mathrm{e} \end{aligned}
  • Para |x|<0,1 :
(1 \pm x)^{a / b} \approx 1 \pm(a x / b)
Com as devidas considerações de escoamento e com compressão isentrópica, calcule:
a) a temperatura crítica T^{*}, em K , para um ponto no escoamento próximo à asa cuja velocidade seja igual à velocidade do som; e
b) a pressão total P_{0}, em kPa , detectada pelo pitot da aeronave.

Passo 1

O enunciado nos dá as condições estáticas do escoamento:
T =300 K, P =100 kPa, \rho=1 kg/ m^{3}, V =238 m/s, \gamma=1,4 e R =287 J/(k g\cdot K).
Queremos:
a) a temperatura crítica T* (ou seja, a temperatura quando M =1) em K;
b) a pressão total P_{0} (stagnation pressure) detectada pelo Pitot em kPa.
Para isso, vamos usar:
  1. A definição da velocidade do som a = \sqrt{\gamma\,R\,T}
  2. O número de Mach
M = \frac{V}{a}
  1. A relação entre temperatura total T_{0} e estática T
\frac{T_{0}}{T} = 1 + \frac{\gamma-1}{2}\,M^{2}
  1. A razão crítica de temperaturas
\frac{T^{*}}{T_{0}} = 0,8
  1. A relação isentrópica entre pressão total e estática
\frac{P_{0}}{P} = \Bigl(1 + \frac{\gamma-1}{2}\,M^{2}\Bigr)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}
e, como x = \tfrac{\gamma-1}{2}M^{2} fica pequeno (< 0,1), podemos aproximar
(1 + x)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} \approx 1 + \frac{\gamma}{\gamma-1}\,x.

Passo 2

Calcular a velocidade do som a em 300 K:
a = \sqrt{\gamma\,R\,T} = \sqrt{1{,}4 \times 287 \times 300} = \sqrt{120540} \approx 347{,}2\;\mathrm{m/s}.

Passo 3

Determinar o número de Mach M:
M = \frac{V}{a} = \frac{238}{347{,}2} \approx 0{,}685.

Passo 4

Calcular a temperatura total T_{0} via
\frac{T_{0}}{T} = 1 + \frac{\gamma-1}{2}\,M^{2} = 1 + 0{,}2 \times (0{,}685)^{2} = 1 + 0{,}2 \times 0{,}469 = 1{,}0938.
Logo
T_{0} = 1{,}0938 \times 300 \approx 328{,}1\;\mathrm{K}.

Passo 5

Encontrar a temperatura crítica T^{*} usando
T^{*} = T_{0} \times \frac{T^{*}}{T_{0}} = 328{,}1 \times 0{,}8 = 262{,}5\;\mathrm{K}.

Passo 6

Calcular a pressão total P_{0}. Primeiro,
x = \frac{\gamma-1}{2}\,M^{2} = 0{,}2 \times 0{,}469 = 0{,}0938.
Como x<0{,}1, usamos a aproximação
\frac{P_{0}}{P} \approx 1 + \frac{\gamma}{\gamma-1}\,x = 1 + 3{,}5 \times 0{,}0938 = 1 + 0{,}3283 = 1{,}3283.
Portanto
P_{0} = 1{,}3283 \times 100\;\mathrm{kPa} \approx 132{,}8\;\mathrm{kPa}.

Resposta

a) T^{*} \approx 263\;\mathrm{K}
b) P_{0} \approx 133\;\mathrm{kPa}

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