Considere um escoamento potencial bidimensional, formado por um escoamento uniforme de velocidade V e um dipolo de intensidade \Lambda.
Diante do escoamento exposto determine, em coordenada cilindrica ( r e \theta ) centrada no centro do dipolo:
a) a função corrente;
b) a função potencial; e

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento potencial 2D obtido pela superposição de um escoamento uniforme de velocidade \,V e um dipolo de intensidade \Lambda, ambos com eixo no sentido x positivo. Em coordenadas cilíndricas (r,\theta) centradas no dipolo, vamos usar o princípio de superposição: a função potencial total é a soma das funções potenciais do escoamento uniforme e do dipolo, e de modo análogo para a função corrente.

Passo 2

Para o escoamento uniforme de módulo \,V no sentido x temos, em coordenadas cilíndricas, as expressões clássicas
\phi_{\rm uni}(r,\theta)=V\,r\cos\theta,
\psi_{\rm uni}(r,\theta)=V\,r\sin\theta,
onde \varphi é a função potencial (tal que v_r=\partial\varphi/\partial r, v_\theta=(1/r)\,\partial\varphi/\partial\theta) e \psi é a função corrente (tal que v_r=(1/r)\,\partial\psi/\partial\theta, v_\theta=-\partial\psi/\partial r).

Passo 3

O dipolo de intensidade \Lambda orientado ao longo de x pode ser visto como o limite de um par fonte-sumidouro. Suas funções em (r,\theta) são
\phi_{\rm dip}(r,\theta) =-\,\frac{\Lambda}{2\pi\,r}\,\cos\theta,
\psi_{\rm dip}(r,\theta) =\frac{\Lambda}{2\pi\,r}\,\sin\theta.
Essas expressões satisfazem as condições de campo irrotacional e incompressível que definem o dipolo.

Passo 4

Pela superposição, a função potencial total \varphi e a corrente total \psi ficam
\varphi(r,\theta) =\phi_{\rm uni}+\phi_{\rm dip} =V\,r\cos\theta -\frac{\Lambda}{2\pi\,r}\,\cos\theta,
\psi(r,\theta) =\psi_{\rm uni}+\psi_{\rm dip} =V\,r\sin\theta +\frac{\Lambda}{2\pi\,r}\,\sin\theta.

Resposta

a) A função corrente é
\psi(r,\theta) =V\,r\sin\theta +\frac{\Lambda}{2\pi\,r}\,\sin\theta.
b) A função potencial é
\varphi(r,\theta) =V\,r\cos\theta -\frac{\Lambda}{2\pi\,r}\,\cos\theta.

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