A função
p(x)=\frac{2}{\pi} x+\cos x
onde \xi \in[a, b]. Se f(x)=\cos x e [a, b]= [0, \pi], qual deve ser o valor de \xi para que \hat{I} forneça o valor exato de I ?
(a) \xi=\pi / 2
(b) \xi=\pi / 6
(c) \xi=\pi
(e) Não sei.

Passo 1

O enunciado dá f(x)=\cos x no intervalo [a,b]=[0,\pi] e pede encontrar \xi\in[0,\pi] tal que a fórmula aproximada
\hat{I}=f(\xi)\,(b-a)
seja exatamente igual à integral real
I=\int_{0}^{\pi}f(x)\,dx.
Este é um caso de aplicação do teorema do valor médio para integrais.

Passo 2

Calculamos primeiro a integral exata
I=\int_{0}^{\pi}\cos x\,dx =\sin x\Big|_{0}^{\pi} =\sin\pi-\sin0 =0.

Passo 3

Pelo teorema do valor médio para integrais, existe \xi\in[0,\pi] tal que
\hat{I}=f(\xi)\,(b-a) =\cos(\xi)\,\bigl(\pi-0\bigr) =\pi\cos(\xi)
deve ser igual a I. Logo, impomos
\pi\cos(\xi)=0.

Passo 4

Da equação \pi\cos(\xi)=0 vem
\cos(\xi)=0 \quad\Longrightarrow\quad \xi=\frac{\pi}{2}
que é o único ponto em [0,\pi] em que \cos(\xi)=0.

Resposta

(a) \xi=\pi/2

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