Para cada um dos sistemas de segunda ordem a seguir, determine ζ, ω_{n}, T_{s}, T_{p}, T_{r} e % U P. [Seção: 4.6.]
T(s)=\frac{16}{s^{2}+3 s+16}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência de um sistema de segunda ordem
T(s)=\frac{16}{s^{2}+3s+16}
e pede as especificações de resposta ao degrau: razão de amortecimento \zeta, frequência natural \omega_{n}, tempo de acomodação T_{s} (2 %), tempo de pico T_{p}, tempo de subida T_{r} e percent-overshoot \%\!UP. Vamos usar as fórmulas-padrão de sistemas subamortecidos.

Passo 2

Identificamos os parâmetros comparando
s^{2}+3s+16 \quad\longleftrightarrow\quad s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}.
Assim,
\omega_{n}^{2}=16\quad\Rightarrow\quad \omega_{n}=4,
2\zeta\omega_{n}=3\quad\Rightarrow\quad \zeta=\frac{3}{2\cdot4}=\frac{3}{8}=0,375.

Passo 3

O percent-overshoot é dado por
\%\!UP = e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}\times100\%.
Calculando
\sqrt{1-\zeta^{2}}=\sqrt{1-0,375^{2}}\approx0,9269, \quad -\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\approx -1,231,
\%\!UP = e^{-1,231}\times100\%\approx29{,}2\%.

Passo 4

As demais especificações são
T_{p}=\frac{\pi}{\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}} =\frac{\pi}{4\cdot0,9269}\approx0{,}847\text{ s},
T_{s}\\ (\text{2 \%})\approx\frac{4}{\zeta\,\omega_{n}} =\frac{4}{0,375\cdot4}\approx2{,}667\text{ s},
T_{r}\\ (\text{0–100 \%})\approx\frac{\pi-\operatorname{arccos}(\zeta)}{\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}} =\frac{\pi-\operatorname{arccos}(0,375)}{4\cdot0,9269} \approx0{,}527\text{ s}.

Resposta

\displaystyle \zeta=0{,}375
\displaystyle \omega_{n}=4\\ \mathrm{rad/s}
\displaystyle T_{s}\approx2{,}667\\ \mathrm{s}
\displaystyle T_{p}\approx0{,}847\\ \mathrm{s}
\displaystyle T_{r}\approx0{,}527\\ \mathrm{s}
\displaystyle \%\!UP\approx29{,}2\%

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