Num aeroporto foi contabilizado que aterrissam cinco aviões com sintomas de panes elétricas por semana. Qual a probabilidade de que, na próxima semana, se tenha até dois aviões com sintoma de pane?

Passo 1

O enunciado diz que, em média, aterrissam cinco aviões com sintomas de panes elétricas por semana. A pergunta é: qual a probabilidade de que, na próxima semana, ocorram no máximo dois aviões com esse sintoma?
Informações dadas:
  • Taxa média por semana: \lambda = 5.
  • Queremos a probabilidade de “até dois” aviões, ou seja, os casos 0, 1 ou 2.

Passo 2

Por que modelo usar? Vou explicar de forma simples e amigável. Quando temos eventos raros que ocorrem independentemente num intervalo de tempo fixo e sabemos apenas a taxa média desses eventos por intervalo, o modelo padrão é a distribuição de Poisson. As hipóteses intuitivas que justificam o uso da Poisson aqui são:
  • O número de panes em uma semana é contado (0,1,2,…).
  • A média por semana é constante ( \lambda=5).
  • Eventos são raros e (aproximadamente) independentes entre si.
    Por isso modelamos o número de aviões com pane na próxima semana por uma variável aleatória X com distribuição de Poisson de parâmetro \lambda=5.

Passo 3

Apresentando a fórmula essencial (a “fórmula mágica” da Poisson) e explicando o que cada símbolo significa:
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}
onde:
  • P(X=k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos no intervalo (aqui, k aviões com pane na semana);
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828\ldots);
  • \lambda é a média esperada no intervalo (aqui \lambda=5);
  • k! (fatorial de k) é k\cdot(k-1)\cdots1 (e por convenção 0!=1).

Passo 4

Queremos a probabilidade de “até dois” aviões, isto é:
P(X\le 2)=\sum_{k=0}^{2} P(X=k)=\sum_{k=0}^{2} e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Substituindo \lambda=5:
P(X\le 2)=e^{-5}\left(\frac{5^{0}}{0!}+\frac{5^{1}}{1!}+\frac{5^{2}}{2!}\right).

Passo 5

Calcular termo a termo (mostrando passo a passo para poder fazer na prova):
\frac{5^{0}}{0!}=1, \qquad \frac{5^{1}}{1!}=5, \qquad \frac{5^{2}}{2!}=\frac{25}{2}=12{,}5.
Somando:
1+5+12{,}5=18{,}5.
Logo
P(X\le 2)=e^{-5}\cdot 18{,}5.

Passo 6

Agora precisamos do valor numérico de e^{-5}. Usando a aproximação padrão:
e^{-5}\approx 0{,}006737947.
Multiplicando:
P(X\le 2)\approx 18{,}5\times 0{,}006737947.

Passo 7

Fazendo a multiplicação com cuidado (passo a passo):
18{,}5\times 0{,}006737947 =10\times 0{,}006737947 + 8\times 0{,}006737947 + 0{,}5\times 0{,}006737947
=0{,}06737947 + 0{,}053903576 + 0{,}0033689735 =0{,}1246520195\\ (\text{aprox.}).
Arredondando de forma razoável para a prova, obtemos aproximadamente 0{,}12465.

Passo 8

Interpretação final (pra te animar): a probabilidade de que na próxima semana ocorram no máximo dois aviões com sintoma de pane, dado que a média é 5 por semana, é cerca de 12{,}5\%. Pode parecer baixo — é menos provável ter poucos casos quando a média é 5 — e essa intuição bate com o resultado.

Resposta

0,12465

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