Num aeroporto foi contabilizado que aterrissam cinco aviões com sintomas de panes elétricas por semana. Qual a probabilidade de que, na próxima semana, se tenha até dois aviões com sintoma de pane?
Passo 1
O enunciado diz que, em média, aterrissam cinco aviões com sintomas de panes elétricas por semana. A pergunta é: qual a probabilidade de que, na próxima semana, ocorram no máximo dois aviões com esse sintoma?
Informações dadas:
Informações dadas:
- Taxa média por semana:
. - Queremos a probabilidade de “até dois” aviões, ou seja, os casos
, ou .
Passo 2
Por que modelo usar? Vou explicar de forma simples e amigável. Quando temos eventos raros que ocorrem independentemente num intervalo de tempo fixo e sabemos apenas a taxa média desses eventos por intervalo, o modelo padrão é a distribuição de Poisson. As hipóteses intuitivas que justificam o uso da Poisson aqui são:
- O número de panes em uma semana é contado (0,1,2,…).
- A média por semana é constante (
). - Eventos são raros e (aproximadamente) independentes entre si.
Por isso modelamos o número de aviões com pane na próxima semana por uma variável aleatóriacom distribuição de Poisson de parâmetro .
Passo 3
Apresentando a fórmula essencial (a “fórmula mágica” da Poisson) e explicando o que cada símbolo significa:
onde:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos no intervalo (aqui, aviões com pane na semana); -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ); -
é a média esperada no intervalo (aqui ); -
(fatorial de ) é (e por convenção ).
Passo 4
Queremos a probabilidade de “até dois” aviões, isto é:
Substituindo
:
Passo 5
Calcular termo a termo (mostrando passo a passo para poder fazer na prova):
Somando:
Logo
Passo 6
Agora precisamos do valor numérico de
. Usando a aproximação padrão:
Multiplicando:
Passo 7
Fazendo a multiplicação com cuidado (passo a passo):
Arredondando de forma razoável para a prova, obtemos aproximadamente
.
Passo 8
Interpretação final (pra te animar): a probabilidade de que na próxima semana ocorram no máximo dois aviões com sintoma de pane, dado que a média é
por semana, é cerca de
. Pode parecer baixo — é menos provável ter poucos casos quando a média é 5 — e essa intuição bate com o resultado.