Uma telefonista recebe em média 10 chamadas por minuto. Pede-se a probabilidade de:
ocorrer no máximo 4 chamadas em 0,2 minutos;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • A taxa média de chamadas é de \lambda = 10 chamadas por minuto.
  • O intervalo de tempo considerado é t = 0,2 minutos.
  • Pergunta-se a probabilidade de ocorrer, nesse intervalo, no máximo 4 chamadas, isto é, P(X \le 4), onde X é o número de chamadas em t = 0,2 minutos.

Passo 2

Por que podemos modelar isso com a distribuição de Poisson? Explicando de forma simples e sem jargões: quando contamos quantos eventos (aqui, chamadas) ocorrem em intervalos de tempo curtos, com uma taxa média constante e as ocorrências são independentes entre si, é muito comum usar o modelo de Poisson. Esse modelo dá a probabilidade de k eventos ocorrerem num intervalo dado só a partir da média esperada nesse intervalo. Aqui temos taxa média por minuto e um intervalo fixo, então o modelo de Poisson é apropriado.

Passo 3

Apresentando a fórmula do Poisson e explicando cada símbolo:
  • Seja X o número de chamadas no intervalo de comprimento t.
  • A média (valor esperado) de X nesse intervalo é \mu.
  • A função massa de probabilidade da Poisson é
P(X=k)=e^{-\mu}\frac{\mu^{k}}{k!},
onde:
  • k é um número inteiro não negativo ( k=0,1,2,\dots),
  • \mu é a média do número de eventos no intervalo (número esperado de chamadas),
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 3! = 3\cdot2\cdot1).

Passo 4

Calcular a média \mu para o intervalo t = 0,2 minutos:
\mu = \lambda t = 10 \times 0,2 = 2.
Ou seja, em 0,2 minutos espera-se, em média, \mu=2 chamadas.

Passo 5

Queremos P(X\le4). Usando a soma dos termos da Poisson:
P(X\le4)=\sum_{k=0}^{4} e^{-\mu}\frac{\mu^{k}}{k!},
substituindo \mu=2:
P(X\le4)=\sum_{k=0}^{4} e^{-2}\frac{2^{k}}{k!}.

Passo 6

Calcular explicitamente os termos e simplificar. Escrevendo cada termo:
\begin{aligned} k=0:&\quad e^{-2}\frac{2^{0}}{0!}=e^{-2}\cdot1,\\[4pt] k=1:&\quad e^{-2}\frac{2^{1}}{1!}=e^{-2}\cdot2,\\[4pt] k=2:&\quad e^{-2}\frac{2^{2}}{2!}=e^{-2}\cdot2,\\[4pt] k=3:&\quad e^{-2}\frac{2^{3}}{3!}=e^{-2}\cdot\frac{8}{6}=e^{-2}\cdot\frac{4}{3},\\[4pt] k=4:&\quad e^{-2}\frac{2^{4}}{4!}=e^{-2}\cdot\frac{16}{24}=e^{-2}\cdot\frac{2}{3}. \end{aligned}
Somando os coeficientes (fator comum e^{-2}):
1 + 2 + 2 + \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 1+2+2+\frac{6}{3} = 1+2+2+2 = 7.
Portanto
P(X\le4)=7 e^{-2}.]

Passo 7

Dar uma aproximação numérica (usando e^{2}\approx 7,389 e portanto e^{-2}\approx 0,135335):
P(X\le4)=7 e^{-2}\approx 7\times 0,135335\approx 0,947348.
Dica prática para a prova: se for pedido o valor exato, entregue 7e^{-2}. Se for pedido decimal e não houver calculadora, memorize que e^{2}\approx 7,389 e então e^{-2}\approx 0,1353, o que permite obter a aproximação acima.

Resposta

P(X\le4)=7e^{-2}\approx0,947348

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