Uma telefonista recebe em média 10 chamadas por minuto. Pede-se a probabilidade de:
ocorrer no máximo 4 chamadas em 0,2 minutos;
ocorrer no máximo 4 chamadas em 0,2 minutos;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- A taxa média de chamadas é de
chamadas por minuto. - O intervalo de tempo considerado é
minutos. - Pergunta-se a probabilidade de ocorrer, nesse intervalo, no máximo
chamadas, isto é, , onde é o número de chamadas em minutos.
Passo 2
Por que podemos modelar isso com a distribuição de Poisson? Explicando de forma simples e sem jargões: quando contamos quantos eventos (aqui, chamadas) ocorrem em intervalos de tempo curtos, com uma taxa média constante e as ocorrências são independentes entre si, é muito comum usar o modelo de Poisson. Esse modelo dá a probabilidade de
eventos ocorrerem num intervalo dado só a partir da média esperada nesse intervalo. Aqui temos taxa média por minuto e um intervalo fixo, então o modelo de Poisson é apropriado.
Passo 3
Apresentando a fórmula do Poisson e explicando cada símbolo:
- Seja
o número de chamadas no intervalo de comprimento . - A média (valor esperado) de
nesse intervalo é . - A função massa de probabilidade da Poisson é
onde:
-
é um número inteiro não negativo ( ), -
é a média do número de eventos no intervalo (número esperado de chamadas), -
é o fatorial de (por exemplo, ).
Passo 4
Calcular a média
para o intervalo
minutos:
Ou seja, em
minutos espera-se, em média,
chamadas.
Passo 5
Queremos
. Usando a soma dos termos da Poisson:
substituindo
:
Passo 6
Calcular explicitamente os termos e simplificar. Escrevendo cada termo:
Somando os coeficientes (fator comum
):
Portanto
Passo 7
Dar uma aproximação numérica (usando
e portanto
):
Dica prática para a prova: se for pedido o valor exato, entregue
. Se for pedido decimal e não houver calculadora, memorize que
e então
, o que permite obter a aproximação acima.