Várias linguagens de programação de computadores têm funções que geram números pseudo-aleatórios cuja distribuição é basicamente uniforme. Se uma função desse tipo gera números entre 0 e 2 , qual a probabilidade de um número gerado estar entre 1 e 1,5 ?
Passo 1
O enunciado diz que uma função gera números pseudo-aleatórios entre
e
. A pergunta é: qual a probabilidade de um número gerado estar entre
e
?\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O domínio dos números gerados é o intervalo
. - O intervalo de interesse é
. - A distribuição informada é “basicamente uniforme” no intervalo dado (ou seja, não favorece subintervalos — a chance é proporcional ao comprimento do subintervalo).
Passo 2
O que significa “uniforme” (explicação didática, sem pressupor que já saiba): para uma situação em que todos os pontos do intervalo
são igualmente prováveis, existe uma função densidade constante
sobre esse intervalo tal que a probabilidade de cair em qualquer subintervalo é proporcional ao comprimento desse subintervalo. Essa função densidade constante vale
onde:
-
é o limite inferior do intervalo (aqui ), -
é o limite superior do intervalo (aqui ), -
é a densidade de probabilidade (um número positivo tal que a área total sob em seja ).\n
Raciocínio por que isso faz sentido: a probabilidade total precisa somar. A área sob a densidade em todo o intervalo é . Igualando a temos .
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: como o intervalo total é
, temos
A probabilidade de a variável cair no subintervalo
é a integral da densidade nesse subintervalo:
Substituindo
obtemos
Passo 4
Continuando a conta de forma bem explícita (passo a passo, como fazer na prova sem calculadora): o comprimento do subintervalo
é
. Multiplicando pela densidade
dá
Outra forma intuitiva (muito útil para provas rápidas): a probabilidade é simplesmente a razão entre o comprimento do subintervalo desejado e o comprimento total do intervalo, ou seja
Passo 5
Um exemplo paralelo para fixar: se os números viessem de
uniformemente, a chance de cair entre
seria
. Isso mostra que, em situações uniformes, basta comparar comprimentos de intervalos — bem direto na hora da prova.\n
Força aí — você já entendeu a técnica: densidade constante, integral (ou razão de comprimentos), e pronto!
Força aí — você já entendeu a técnica: densidade constante, integral (ou razão de comprimentos), e pronto!