Várias linguagens de programação de computadores têm funções que geram números pseudo-aleatórios cuja distribuição é basicamente uniforme. Se uma função desse tipo gera números entre 0 e 2 , qual a probabilidade de um número gerado estar entre 1 e 1,5 ?

Passo 1

O enunciado diz que uma função gera números pseudo-aleatórios entre (0) e (2). A pergunta é: qual a probabilidade de um número gerado estar entre (1) e (1,5)?\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O domínio dos números gerados é o intervalo (0,2).
  • O intervalo de interesse é (1,1,5).
  • A distribuição informada é “basicamente uniforme” no intervalo dado (ou seja, não favorece subintervalos — a chance é proporcional ao comprimento do subintervalo).

Passo 2

O que significa “uniforme” (explicação didática, sem pressupor que já saiba): para uma situação em que todos os pontos do intervalo (a,b) são igualmente prováveis, existe uma função densidade constante f(x) sobre esse intervalo tal que a probabilidade de cair em qualquer subintervalo é proporcional ao comprimento desse subintervalo. Essa função densidade constante vale
f(x)=\frac{1}{b-a}\quad\text{para }x\in(a,b),
onde:
  • a é o limite inferior do intervalo (aqui a=0),
  • b é o limite superior do intervalo (aqui b=2),
  • f(x) é a densidade de probabilidade (um número positivo tal que a área total sob f em (a,b) seja 1).\n
    Raciocínio por que isso faz sentido: a probabilidade total precisa somar 1. A área sob a densidade em todo o intervalo é (b-a)\times f(x). Igualando a 1 temos f(x)=1/(b-a).

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: como o intervalo total é (0,2), temos
f(x)=\frac{1}{2-0}=\frac{1}{2}\quad\text{para }x\in(0,2).
A probabilidade de a variável cair no subintervalo (1,1,5) é a integral da densidade nesse subintervalo:
P(1\le X\le1{,}5)=\int_{1}^{1{,}5} f(x)\,dx.
Substituindo f(x)=\dfrac{1}{2} obtemos
P(1\le X\le1{,}5)=\int_{1}^{1{,}5}\frac{1}{2}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\bigl(1{,}5-1\bigr).

Passo 4

Continuando a conta de forma bem explícita (passo a passo, como fazer na prova sem calculadora): o comprimento do subintervalo (1,1{,}5) é (1{,}5-1)=0{,}5. Multiplicando pela densidade \dfrac{1}{2}
P(1\le X\le1{,}5)=\frac{1}{2}\cdot 0{,}5=\frac{1}{4}.
Outra forma intuitiva (muito útil para provas rápidas): a probabilidade é simplesmente a razão entre o comprimento do subintervalo desejado e o comprimento total do intervalo, ou seja
P=\frac{1{,}5-1}{2-0}=\frac{0{,}5}{2}=\frac{1}{4}.

Passo 5

Um exemplo paralelo para fixar: se os números viessem de (0,10) uniformemente, a chance de cair entre (2,3) seria \dfrac{3-2}{10-0}=\dfrac{1}{10}. Isso mostra que, em situações uniformes, basta comparar comprimentos de intervalos — bem direto na hora da prova.\n
Força aí — você já entendeu a técnica: densidade constante, integral (ou razão de comprimentos), e pronto!

Resposta

\dfrac{1}{4}
0,25

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