Uma telefonista recebe em média 10 chamadas por minuto. Pede-se a probabilidade de:
receber entre 7 e 9 chamadas em 0,8 minutos.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado\n
  • Pedido: a probabilidade de receber entre 7 e 9 chamadas (isto é, 7, 8 ou 9 chamadas) em 0,8 minutos.\n
  • Dados fornecidos: a telefonista recebe em média 10 chamadas por minuto.

Passo 2

Modelo apropriado e por que usá-lo (explicação didática)\n
  • Quando chegadas ocorrem de forma aleatória e independentemente em intervalos de tempo, um modelo padrão é o processo de Poisson. Nesse modelo, o número de eventos (aqui, chamadas) em um intervalo de tempo segue a distribuição de Poisson.\n
  • A distribuição de Poisson tem um parâmetro que representa a média de eventos no intervalo considerado. Se a taxa média é \lambda_0 por unidade de tempo, então em um intervalo de duração t a média é \lambda=\lambda_0 t.\n
  • A função de massa de probabilidade (PMF) da Poisson com parâmetro \lambda é\n
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},
onde k é um número inteiro não negativo, e é a base dos logaritmos naturais, e k! é o fatorial de k.\n
  • Notas úteis para a prova: interpretar \lambda como a média e variância; usar a relação recursiva\n
P(X=k+1)=P(X=k)\frac{\lambda}{k+1},
que ajuda a calcular probabilidades sucessivas sem recalcular fatoriais grandes.

Passo 3

Calcular o parâmetro \lambda para 0,8 minutos\n
  • A taxa dada é 10 chamadas por minuto. Para t=0,8 minutos a média (parâmetro da Poisson) é\n
\lambda = 10\times 0,8 = 8.
  • Logo, o número X de chamadas em 0,8 minutos segue X\sim\text{Poisson}(\lambda=8).

Passo 4

Escrever a probabilidade pedida em termos da PMF\n
  • Queremos\n
P(7\le X\le 9)=P(X=7)+P(X=8)+P(X=9).
  • Usando a fórmula da Poisson com \lambda=8:\n
P(X=k)=e^{-8}\frac{8^k}{k!}.
  • Portanto\n
P(7\le X\le 9)=\sum_{k=7}^{9} e^{-8}\frac{8^k}{k!}.

Passo 5

Cálculo prático usando uma simplificação inteligente\n
  • Observe a relação entre P(X=7) e P(X=8):\n
\frac{P(X=8)}{P(X=7)}=\frac{8}{8}=1,
portanto P(X=7)=P(X=8) (isso acontece porque \lambda=8).\n
  • E \displaystyle P(X=9)=P(X=8)\frac{8}{9}.\n
  • Assim a soma fica\n
P(7\le X\le 9)=P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)=P(X=8)\Big(1+1+\frac{8}{9}\Big)=P(X=8)\cdot\frac{26}{9}.

Passo 6

Calcular P(X=8) numericamente (passo a passo)\n
  • Use a fórmula direta para k=8:\n
P(X=8)=e^{-8}\frac{8^8}{8!}.
  • Valores necessários (mostrando-os para poder fazer na prova com calma):\n
8^8=16777216,\qquad 8!=40320,\qquad e^{-8}\approx0,00033546262790251185.
  • Primeiro calcule o quociente \dfrac{8^8}{8!}:\n
\frac{8^8}{8!}=\frac{16777216}{40320}\approx416{,}1015873015873.
  • Multiplicando por e^{-8}:\n
P(X=8)\approx 0{,}00033546262790251185\times 416{,}1015873015873\approx 0{,}139586535.

Passo 7

Obter a probabilidade total somando os termos (número final)\n
  • Usando a relação do passo 5:\n
P(7\le X\le 9)=\frac{26}{9}\,P(X=8).
  • Substituindo P(X=8)\approx 0{,}139586535:\n
P(7\le X\le 9)\approx \frac{26}{9}\times 0{,}139586535\approx 0{,}40325.

Resposta

0,40325

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