Uma telefonista recebe em média 10 chamadas por minuto. Pede-se a probabilidade de:
receber entre 7 e 9 chamadas em 0,8 minutos.
receber entre 7 e 9 chamadas em 0,8 minutos.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado\n
- Pedido: a probabilidade de receber entre 7 e 9 chamadas (isto é, 7, 8 ou 9 chamadas) em
minutos.\n - Dados fornecidos: a telefonista recebe em média
chamadas por minuto.
Passo 2
Modelo apropriado e por que usá-lo (explicação didática)\n
- Quando chegadas ocorrem de forma aleatória e independentemente em intervalos de tempo, um modelo padrão é o processo de Poisson. Nesse modelo, o número de eventos (aqui, chamadas) em um intervalo de tempo segue a distribuição de Poisson.\n
- A distribuição de Poisson tem um parâmetro que representa a média de eventos no intervalo considerado. Se a taxa média é
por unidade de tempo, então em um intervalo de duração a média é .\n - A função de massa de probabilidade (PMF) da Poisson com parâmetro
é\n
onde
é um número inteiro não negativo,
é a base dos logaritmos naturais, e
é o fatorial de
.\n
- Notas úteis para a prova: interpretar
como a média e variância; usar a relação recursiva\n
que ajuda a calcular probabilidades sucessivas sem recalcular fatoriais grandes.
Passo 3
Calcular o parâmetro
para
minutos\n
- A taxa dada é
chamadas por minuto. Para minutos a média (parâmetro da Poisson) é\n
- Logo, o número
de chamadas em minutos segue .
Passo 4
Escrever a probabilidade pedida em termos da PMF\n
- Queremos\n
- Usando a fórmula da Poisson com
:\n
- Portanto\n
Passo 5
Cálculo prático usando uma simplificação inteligente\n
- Observe a relação entre
e :\n
portanto
(isso acontece porque
).\n
- E
.\n - Assim a soma fica\n
Passo 6
Calcular
numericamente (passo a passo)\n
- Use a fórmula direta para
:\n
- Valores necessários (mostrando-os para poder fazer na prova com calma):\n
- Primeiro calcule o quociente
:\n
- Multiplicando por
:\n
Passo 7
Obter a probabilidade total somando os termos (número final)\n
- Usando a relação do passo 5:\n
- Substituindo
:\n