(AFA - 1995) A diferença entre os comprimentos de duas barras metálicas retilíneas a 0^circ C é de 60 cm . Dados os coeficientes de dilatação linear dos materiais constituintes das barras alpha1=1,6.10^-5 ^circ C^-1 e alpha2=2,4.10^-5 ^circ C^-1. Determine o comprimento de cada uma delas em centímetros, nessa mesma temperatura, a fim de que a diferença permaneça constante e independente da temperatura. (Resposta: 120 e 180 cm)

Passo 1

Temos duas barras metálicas com coeficientes de dilatação linear alpha1=1,6times10^-5,^circC^-1 e alpha2=2,4times10^-5,^circC^-1. No estado inicial a 0,^circC a diferença dos comprimentos é de 60,cm. Queremos achar os comprimentos iniciais L1 e L2 de modo que, para qualquer variação de temperatura De<a T, a diferença continua igual a 60,cm.

Passo 2

Pela dilatação linear, após um aumento De<a T os comprimentos passam a
L1' = L1l(1 + alpha1,De<a Tr), L2' = L2l(1 + alpha2,De<a Tr)
A diferença em qualquer temperatura é
D(De<a T) = L1' - L2' = l(L1 - L2r) + l(L1alpha1 - L2alpha2r),De<a T
Para que D(De<a T) seja sempre 60,cm e independente de De<a T, precisamos ter
L1 - L2 = 60 e L1alpha1 - L2alpha2 = 0

Passo 3

Da condição L1alpha1 = L2alpha2 segue
L1 = L2,alpha2alpha1
Substituindo em L1 - L2 = 60
L2l(alpha2alpha1 - 1r) = 60

Passo 4

Como alpha2/alpha1 = tfrac2,4times10^-51,6times10^-5 = 1,5, temos
L2,(1,5 - 1) = L2cdot0,5 = 60 Longrightarrow L2 = 600,5 = 120 cm,
e
L1 = L2 + 60 = 120 + 60 = 180 cm

Resposta

A barra de coeficiente alpha1=1,6times10^-5,^circC^-1 deve ter 180,cm e a de coeficiente alpha2=2,4times10^-5,^circC^-1 deve ter 120,cm.

Exercícios relacionados