(AFA 2014) Um tanque com capacidade de 300 litros de água possui duas torneiras: I e II.
A torneira I despeja água no tanque a uma vazão de 2 \ell por minuto. Já a torneira Il retira água do tanque a uma vazão de \frac{1}{2} \ell por minuto.
Às 8 h de certo dia, com o tanque vazio, a torneira I foi aberta e, após 15 minutos foi fechada.
Às 9 h e 30 min as duas torneiras foram abertas, e assim permaneceram até 11 h e 30 min .
Neste horário a torneira II é fechada, mas a torneira I permanece aberta até o momento em que a água atinge a capacidade do tanque.
Este momento ocorre às
a) 12 h e 10 min .
b) 12 h e 15 min .
c) 12 h e 20 min .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (tudo o que peguei do enunciado):
  • Capacidade do tanque: \,300\\ \ell\,.
  • Vazões das torneiras:
    • Torneira I (enche): \,2\\ \ell/\text{min}\,.
    • Torneira II (esvazia): \,\tfrac{1}{2}\\ \ell/\text{min}\,.
  • Sequência de eventos no tempo:
    • Às \,8\\ \text{h} o tanque está vazio e a torneira I é aberta.
    • Às \,8\\ \text{h}\\\ 15\\ \text{min} a torneira I é fechada.
    • Às \,9\\ \text{h}\\\ 30\\ \text{min} as duas torneiras (I e II) são abertas e permanecem assim até \,11\\ \text{h}\\\ 30\\ \text{min}.
    • Às \,11\\ \text{h}\\\ 30\\ \text{min} a torneira II é fechada; a torneira I permanece aberta até o tanque atingir a capacidade.
  • O que o problema pede: determinar em que horário o tanque fica cheio (ou seja, em que horário o volume atinge \,300\\ \ell) e escolher entre as alternativas dadas.

Passo 2

Conceitos e fórmula básica (mini-aula rápida, bem mastigada):
  • Vazão (ou taxa) é a quantidade de volume por unidade de tempo. Se uma torneira tem vazão r em \ell/\text{min} e fica aberta por tempo t em minutos, o volume que entrou (ou saiu, se for escoamento) é
V = r \cdot t,
onde V está em \ell, r em \ell/\text{min} e t em \text{min}.
  • Quando duas torneiras atuam simultaneamente com vazões r_1 (entrada) e r_2 (saída), o ganho líquido de água por minuto é
r_{\text{líquido}} = r_1 - r_2.í
Exemplo simples: se r_1=2\\ \ell/\text{min} e r_2=\tfrac{1}{2}\\ \ell/\text{min}, então r_{\text{líquido}}=2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}\\ \ell/\text{min}=1{,}5\\ \ell/\text{min}í. Isso significa que, com as duas abertas, o tanque aumenta 1{,}5\\ \ell a cada minuto.

Passo 3

Calcular quanto entrou no primeiro intervalo: de \,8\\ \text{h} até \,8\\ \text{h}\\\ 15\\ \text{min} (tempo de abertura da torneira I sozinho).
  • Duração: 15\\ \text{min}.
  • Vazão da I: 2\\ \ell/\text{min}.
  • Volume acrescentado:
V_1 = 2 \cdot 15 = 30\\ \ell.
Portanto, às \,8\\ \text{h}\\\ 15\\ \text{min} o tanque contém \,30\\ \ell. (Nada mais mexe no tanque até às \,9\\ \text{h}\\\ 30\\ \text{min} segundo o enunciado.)

Passo 4

Calcular o volume quando as duas torneiras ficam abertas (parte intermediária): de \,9\\ \text{h}\\\ 30\\ \text{min} até \,11\\ \text{h}\\\ 30\\ \text{min}.
  • Duração desse intervalo: de 9{:}30 a 11{:}30 são 2 horas =120\\ \text{min}.
  • Vazão líquida com as duas abertas:
r_{\text{líquido}} = 2 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}\\ \ell/\text{min} = 1{,}5\\ \ell/\text{min}.í
  • Volume acrescentado nesse intervalo:
V_2 = r_{\text{líquido}} \cdot 120 = \tfrac{3}{2}\cdot 120 = 180\\ \ell.í
  • Volume total no tanque às \,11\\ \text{h}\\\ 30\\ \text{min}:
V_{\text{11:30}} = V_1 + V_2 = 30 + 180 = 210\\ \ell.

Passo 5

Calcular quanto falta para encher e quanto tempo leva com a torneira I sozinha (após \,11\\ \text{h}\\\ 30\\ \text{min}):
  • Capacidade total: \,300\\ \ell.
  • Volume já presente às \,11{:}30: \,210\\ \ell.
  • Volume restante a encher:
\Delta V = 300 - 210 = 90\\ \ell.
  • A partir de \,11{:}30, a torneira II é fechada e só a I fica aberta com vazão 2\\ \ell/\text{min}. Tempo necessário para acrescentar \Delta V:
t = \frac{\Delta V}{r_I} = \frac{90}{2} = 45\\ \text{min}.

Passo 6

Determinar o horário final:
  • Partindo de \,11{:}30 e adicionando 45\\ \text{min} chegamos em \,12{:}15.
    Logo, o momento em que o tanque atinge a capacidade é \,12\\ \text{h}\\\ 15\\ \text{min}.

Resposta

b) 12 h e 15 min .

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