(AFA) Analise as proposições seguintes.
(02) Se 1(1!)+2(2!)+3(3!)+ldots+n(n!)=(n+1)!-1, com n in1,2,3,4, ldots, então, o valor de 1(1!)+2(2!)+ldots+10(10!)+18!(1+2+3+4+ldots+10) é igual a 18
(04) O valor de summ=1^pbinommm-1 é p^2
(08) Uma caixa (I) contém 6 garrafas com rótulo e duas garrafas sem rótulo; outra caixa (II) contém 4 garrafas com rótulo e uma sem rótulo. Uma caixa é selecionada aleatoriamente e dela uma garrafa é retirada. A probabilidade dessa garrafa retirada ser sem rótulo é de 22,5%.
(16) Dois dígitos distintos são selecionados aleatoriamente dentre os dígitos de 1 a 9 . Se a soma entre eles é par, a probabilidade de ambos serem ímpares é 58.
A soma das proposições verdadeiras é igual a:
(A) 14
(B) 24
© 26
(D) 30

Passo 1

Beleza, vamos analisar 4 proposições envolvendo soma de fatoriais, binômios e probabilidade. O que precisamos sacar aqui:
  1. A identidade .
  2. Como somar .
  3. Probabilidade total (caixas e garrafas).
  4. Probabilidade condicionada (soma par, dígitos ímpares).
    No fim, somamos os índices das proposições verdadeiras (02, 04, 08, 16).

Passo 2

Proposição (02): “Se 1cdot1!+cdots+10cdot10!+18!,(1+2+cdots+10)=18 , então
sumk=1^10k,k! = 11! - 1
Teoria aplicada: a própria identidade. Para 8!,(1+2+cdots+10)=8!times55 ,
11!8!times55 =11times10times9times8!8!times55 =99055=18
Assim o numerador vira .
O denominador é
Logo o quociente é
Proposição 02 é verdadeira.

Passo 3

Proposição (04): “ summ=1^pbinommm-1 =summ=1^p m =p(p+1)2, .”
Teoria: , porque escolher de é igual a .
Então
e não .
Proposição 04 é falsa.

Passo 4

Proposição (08): temos duas caixas:
  • Caixa I: 6 rotuladas, 2 sem rótulo.
  • Caixa II: 4 rotuladas, 1 sem rótulo.
    Escolhe-se cada caixa com probabilidade 12cdot28 + 12cdot15 =12l(14+15r) =12cdot920 =940=0,225 = 22,5% , depois tira-se uma garrafa.
    Probabilidade de “sem rótulo” é
Proposição 08 é verdadeira.

Passo 5

Proposição (16): escolhe 2 dígitos distintos de 1 a 9. Dado que a soma é par, queremos a chance de ambos serem ímpares.
Teoria de probabilidades condicionadas e contagem:
  • Números ímpares disponíveis: 5 (1,3,5,7,9).
  • Números pares disponíveis: 4 (2,4,6,8).
    Soma é par só se os dois forem ímpares ou os dois forem pares.
    Número de pares ímpares: 1016 = 58 .
    Número de pares pares: .
    Total de casos com soma par: .
    Probabilidade de ambos ímpares dado soma par:
Proposição 16 é verdadeira.

Resposta

As proposições verdadeiras são 02, 08 e 16, cujos índices somam
2 + 8 + 16 = 26
Resposta: 26.

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