(AFA) Uma urna contém 1 bola preta e 9 brancas. Uma segunda urna contém x bolas pretas e as restantes brancas, num total de 10 bolas. Em um primeiro experimento, retira-se ao acaso uma bola de cada urna. Em um segundo experimento, todas as bolas são reunidas em uma única urna, e duas são retiradas, ao acaso, uma seguida da outra, sem reposição. O menor valor de x, tal que a probabilidade de se obterem duas bolas pretas seja estritamente maior no segundo experimento, é:
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4 .

Passo 1

Beleza, vamos resumir: a questão tá na parte de probabilidade e eventos, mais especificamente em dois experimentos de tirar bolas de urnas.
– No Experimento 1 a gente tira uma bola de cada uma das duas urnas (que têm 10 bolas cada).
– No Experimento 2 junta tudo num “mega-urnão” de 20 bolas e puxa duas sem repor.
O objetivo é achar o menor valor inteiro de (número de bolas pretas na urna 2) para que a probabilidade de tirar duas pretas no Experimento 2 seja maior que a do Experimento 1.
Pra resolver, vamos usar noções básicas de:
  1. Probabilidade de eventos independentes.
  2. Probabilidade de eventos sem reposição.

Passo 2

Calcular a probabilidade de duas pretas no Experimento 1:
– Seja P(A)=110 o evento “sair preta da urna 1”. Como há 1 preta em 10 bolas,
P(B)=x10
– Seja P1 = P(Acap B)=P(A),P(B)=110cdotx10=x100 o evento “sair preta da urna 2”. Como há pretas em 10,
Como as escolhas são em urnas diferentes, e são independentes, então

Passo 3

Calcular a probabilidade de duas pretas no Experimento 2 (sem reposição):
– Agora temos P(1ª preta)=1+x20 bolas pretas no total de P(2ª pretamid1ª preta)=x19 .
– A probabilidade de retirar preta na 1ª extração é
P2 = 1+x20cdotx19 = x(1+x)380 ª
– Se saiu preta, restam bolas pretas e bolas no total. A probabilidade da 2ª ser preta, dado que a 1ª foi, é
ªª
– Então, usando a regra da probabilidade composta (multiplicação de evento e seu condicional),

Passo 4

A condição é x(1+x)380 > x100 . Substituindo:
1+x380 > 1100 Longrightarrow 1+x > 380100 = 3,8 Longrightarrow x > 2,8
Assumindo , podemos dividir ambos os lados por :

Passo 5

Como x = 3 tem que ser inteiro, o menor valor que satisfaz é

Resposta

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