(AFA) Uma urna contém 1 bola preta e 9 brancas. Uma segunda urna contém
bolas pretas e as restantes brancas, num total de 10 bolas. Em um primeiro experimento, retira-se ao acaso uma bola de cada urna. Em um segundo experimento, todas as bolas são reunidas em uma única urna, e duas são retiradas, ao acaso, uma seguida da outra, sem reposição. O menor valor de
, tal que a probabilidade de se obterem duas bolas pretas seja estritamente maior no segundo experimento, é:
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4 .
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4 .
Passo 1
Beleza, vamos resumir: a questão tá na parte de probabilidade e eventos, mais especificamente em dois experimentos de tirar bolas de urnas.
– No Experimento 1 a gente tira uma bola de cada uma das duas urnas (que têm 10 bolas cada).
– No Experimento 2 junta tudo num “mega-urnão” de 20 bolas e puxa duas sem repor.
O objetivo é achar o menor valor inteiro de (número de bolas pretas na urna 2) para que a probabilidade de tirar duas pretas no Experimento 2 seja maior que a do Experimento 1.
Pra resolver, vamos usar noções básicas de:
– No Experimento 1 a gente tira uma bola de cada uma das duas urnas (que têm 10 bolas cada).
– No Experimento 2 junta tudo num “mega-urnão” de 20 bolas e puxa duas sem repor.
O objetivo é achar o menor valor inteiro de
Pra resolver, vamos usar noções básicas de:
- Probabilidade de eventos independentes.
- Probabilidade de eventos sem reposição.
Passo 2
Calcular a probabilidade de duas pretas no Experimento 1:
– Seja o evento “sair preta da urna 1”. Como há 1 preta em 10 bolas,
– Seja
– Seja
o evento “sair preta da urna 2”. Como há
pretas em 10,
Como as escolhas são em urnas diferentes,
e
são independentes, então
Passo 3
Calcular a probabilidade de duas pretas no Experimento 2 (sem reposição):
– Agora temos bolas pretas no total de
.
– A probabilidade de retirar preta na 1ª extração é
– Agora temos
– A probabilidade de retirar preta na 1ª extração é
– Se saiu preta, restam
bolas pretas e
bolas no total. A probabilidade da 2ª ser preta, dado que a 1ª foi, é
– Então, usando a regra da probabilidade composta (multiplicação de evento e seu condicional),
Passo 4
A condição é
. Substituindo:
Assumindo
, podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 5
Como
tem que ser inteiro, o menor valor que satisfaz
é