Um afinador de um instrumento músico estica uma corda com uma tensão de 150,0 N. 0 comprimento da corda é 80,0 cm e sua massa é 20,0 g.
Qual é a ordem do maior harmônico que pode ser ouvido por uma pessoa que pode ouvir frequências até 22,0 KHz ? (1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre ondas em cordas, especificamente sobre harmonicos. O enunciado diz que um afinador estica uma corda com uma tensão de 150,0 N. O comprimento da corda é de 80,0 cm e a massa dela é 20,0 g. A pergunta é: qual é a ordem do maior harmônico que uma pessoa pode ouvir, considerando que ela consegue ouvir até 22,0 KHz? Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria das ondas estacionárias em cordas, que envolve conceitos de frequência fundamental, massa linear e harmonicos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. O comprimento da corda é 80,0 cm, que é igual a 0,80 metros. A massa é 20,0 g, ou seja, 0,020 kg.

Passo 3

Agora, vamos calcular a massa linear da corda, que é a massa por unidade de comprimento. A fórmula para a massa linear (μ) é:
mu = mL
Substituindo os valores:
mu = 0,020, kg0,80, m = 0,025, kg/m

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a frequência fundamental (f₁) da corda. A frequência fundamental é a menor frequência na qual a corda vibra e é dada pela fórmula:
f1 = 12L raizTmu
Onde:
  • $ L $ é o comprimento da corda,
  • $ T $ é a tensão,
  • $ \mu $ é a massa linear.
Substituindo os valores:
L

Passo 5

Vamos calcular dentro da raiz primeiro:
150,00,025 = 6000, N·m/kg
Agora, tirando a raiz quadrada:
raiz6000 approx 77,46, rad/s
Então, a frequência fundamental fica:
f1 = 11,6, m times 77,46 approx 48,41, Hz

Passo 6

Agora que temos a frequência fundamental, vamos determinar qual o maior harmônico que a pessoa pode ouvir. Cada harmônico é um múltiplo inteiro da frequência fundamental:
fn = n times f1
Queremos encontrar o maior $ n $ tal que $ f_n \leq 22000, Hz $:
n
Dividindo ambos os lados por 48,41:
fn <= 22000, Hz
Como $ n $ precisa ser um número inteiro, o maior harmônico possível é 454.

Resposta

O maior harmônico que pode ser ouvido é o 454º.

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