Um afinador de um instrumento músico estica uma corda com uma tensão de 150,0 N. 0 comprimento da corda é
e sua massa é
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Qual é a ordem do maior harmônico que pode ser ouvido por uma pessoa que pode ouvir frequências até
? (1,0 ponto)
Qual é a ordem do maior harmônico que pode ser ouvido por uma pessoa que pode ouvir frequências até
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre ondas em cordas, especificamente sobre harmonicos. O enunciado diz que um afinador estica uma corda com uma tensão de 150,0 N. O comprimento da corda é de 80,0 cm e a massa dela é 20,0 g. A pergunta é: qual é a ordem do maior harmônico que uma pessoa pode ouvir, considerando que ela consegue ouvir até 22,0 KHz? Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria das ondas estacionárias em cordas, que envolve conceitos de frequência fundamental, massa linear e harmonicos.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. O comprimento da corda é 80,0 cm, que é igual a 0,80 metros. A massa é 20,0 g, ou seja, 0,020 kg.
Passo 3
Agora, vamos calcular a massa linear da corda, que é a massa por unidade de comprimento. A fórmula para a massa linear (μ) é:
Substituindo os valores:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a frequência fundamental (f₁) da corda. A frequência fundamental é a menor frequência na qual a corda vibra e é dada pela fórmula:
Onde:
- $ L $ é o comprimento da corda,
- $ T $ é a tensão,
- $ \mu $ é a massa linear.
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos calcular dentro da raiz primeiro:
Agora, tirando a raiz quadrada:
Então, a frequência fundamental fica:
Passo 6
Agora que temos a frequência fundamental, vamos determinar qual o maior harmônico que a pessoa pode ouvir. Cada harmônico é um múltiplo inteiro da frequência fundamental:
Queremos encontrar o maior $ n $ tal que $ f_n \leq 22000, Hz $:
Dividindo ambos os lados por 48,41:
Como $ n $ precisa ser um número inteiro, o maior harmônico possível é 454.
Resposta
O maior harmônico que pode ser ouvido é o 454º.