Um afinador de um instrumento músico estica uma corda com uma tensão de 50,0 N. O comprimento da corda é 150 cm e sua massa é 30,0 g.
Qual é a ordem do maior harmônico que pode ser ouvido por uma pessoa que pode ouvir frequências até 20,0 KHz ? ( 0,5 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma corda de instrumento musical que está esticada com uma tensão de 50,0 , N. A corda tem 150 cm de comprimento e pesa 30,0 g. O objetivo é descobrir qual é o maior harmônico que uma pessoa consegue ouvir, sabendo que o limite de audição dessa pessoa é de 20,0 kHz. Vamos precisar de conceitos de ondas estacionárias e harmônicos, além de usar algumas fórmulas matemáticas para calcular as frequências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que os harmônicos são múltiplos da frequência fundamental da corda. A frequência fundamental ( f1) é a menor frequência na qual a corda vibra, e cada harmônico seguinte é um múltiplo dessa frequência ( fn = n cdot f1).

Passo 3

Para encontrar a frequência fundamental, usamos a fórmula:
f1 = 12L raizTmu
onde:
  • L é o comprimento da corda,
  • T é a tensão,
  • mu é a densidade linear de massa da corda.

Passo 4

Vamos converter as unidades para o Sistema Internacional:
  • Comprimento: 150 , cm = 1,50 , m
  • Massa: 30,0 , g = 0,030 , kg

Passo 5

Agora, calculamos a densidade linear de massa ( mu):
mu = massacomprimento = 0,030 , kg1,50 , m = 0,020 , kg/m

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula da frequência fundamental:
f1 = 12 times 1,50 raiz50,00,020 = 13,00 raiz2500 = 13,00 times 50 = 16,67 , Hz

Passo 7

Sabemos que o maior harmônico audível é aquele cuja frequência não ultrapassa 20,000 Hz. Então, podemos achar o maior número inteiro n tal que:
n cdot f1 <= 20.000 , Hz
Resolvendo para n:
n <= 20.00016,67 approx 1200

Resposta

O maior harmônico que pode ser ouvido é o de ordem 1200.

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