Um cilíndro uniforme de raio R e massa M, está montado de modo a poder girar livremente em torno de um eixo horizontal paralelo ao eixo central longitudinal do cilíndro e situado a uma distância R / 2 deste eixo. O cilíndro é liberado a partir do repouso, com o eixo central longitudinal a uma altura R / 2 do eixo em torno do qual pode girar. Em que posição o centro de massa terá aceleração tangencial igual a g, a aceleração da gravidade. Para o cilíndro Icm=M R^2 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um cilindro uniforme que pode girar livremente em torno de um eixo horizontal. A gente vai usar conceitos de dinâmica rotacional, como torque, momento de inércia e aceleração angular. Precisamos descobrir em que posição o centro de massa do cilindro terá uma aceleração tangencial igual à aceleração da gravidade $ g $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o cilindro está posicionado. Ele gira em torno de um eixo que está a uma distância $ \frac{R}{2} $ do eixo central do cilindro. Quando o cilindro é liberado, ele começa a girar devido à força da gravidade atuando sobre o seu centro de massa.

Passo 3

A força da gravidade $ F_g $ que age sobre o centro de massa do cilindro é igual a $ F_g = M \cdot g $, onde $ M $ é a massa do cilindro e $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Essa força gera um torque $ \tau $ em relação ao eixo de rotação. O torque é dado por:
tau
onde $ d $ é a distância perpendicular entre a linha de ação da força e o eixo de rotação. No nosso caso, $ d = \frac{R}{2} $.
Então, substituindo:
tau = Fg cdot d

Passo 5

Para relacionar o torque com a aceleração angular $ \alpha $, usamos a segunda lei de Newton para rotação:
alpha
onde $ I $ é o momento de inércia do cilindro em relação ao eixo de rotação.
Sabemos que o momento de inércia do cilindro em seu centro de massa é $ I_{\mathrm{cm}} = \frac{M R^2}{2} $. Mas como o eixo de rotação está deslocado, usamos o teorema de Steiner:
tau = I cdot alpha

Passo 6

Agora, substituímos $ I $ e $ \tau $ na segunda lei de Newton para rotação:
I
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ M $ e por $ R $:
tau

Passo 7

Queremos a aceleração tangencial $ a_t $ igual a $ g $. Sabemos que:
at
onde $ r = \frac{R}{2} $, a distância do centro de massa ao eixo de rotação.
Substituindo:
g
Então:
at = alpha cdot r

Passo 8

Voltando à equação onde relacionamos $ g $ e $ \alpha $:
g
Substituindo $ \alpha = \frac{2 g}{R} $:
alpha
g2 = 3 R4 cdot alpha
alpha = 2 gR

Passo 9

Obs: Aqui percebemos que algo não está certo, pois chegamos a uma igualdade que não faz sentido. Isso indica que precisamos revisitar nossos cálculos e compreender melhor a relação entre a aceleração tangencial e a posição.
Na verdade, a aceleração tangencial dependerá do ângulo $ \theta $ em que o cilindro está inclinado, afetando o torque e, portanto, a aceleração angular.
Vamos considerar que o torque também depende do ângulo $ \theta $ de inclinação do cilindro. O torque correto seria:
theta
Agora, refazendo a relação:
theta
Simplificando e resolvendo para $ \alpha $:
tau = M cdot g cdot R2 cdot sin(theta)
E a aceleração tangencial:
M cdot g cdot R2 cdot sin(theta) = 3 M R^24 cdot alpha
Para que $ a_t = g $:
alpha
alpha = 2 g sin(theta)3 R
Como $ \sin(\theta) $ não pode ser maior que 1, percebemos que não há um ângulo real $ \theta $ que satisfaça essa condição. Isso indica que, na configuração dada, o centro de massa do cilindro nunca terá uma aceleração tangencial igual a $ g $.

Resposta

Não existe uma posição real em que o centro de massa do cilindro tenha uma aceleração tangencial igual à aceleração da gravidade $ g $.

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