A afirmação
"se lim x x0^+ f(x)=lim x x0^- f(x) então f é contínua em x0 " ãéí
é verdadeira ou falsa? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz: “se limxto x0^+f(x)=limxto x0^-f(x) então f é contínua em x0”. Estamos na matéria de continuidade de funções e vamos precisar usar a definição de continuidade em um ponto.

Passo 2

Pela definição, f é contínua em x0 se e somente se existir limxto x0f(x) e esse limite for igual a f(x0). Em outras palavras, precisamos de três coisas: existência de limxto x0^+f(x), de limxto x0^-f(x) e que ambos coincidam com o valor f(x0).

Passo 3

A condição dada no enunciado garante apenas que limxto x0^+f(x)=limxto x0^-f(x)=L, mas não impõe que f(x0)=L. Logo, falta verificar a igualdade entre o valor da função em x0 e esse limite comum.

Passo 4

Um contraexemplo simples: defina
f(x)=0,&xneq0,1,&x=0
Então limxto0^+f(x)=0 e limxto0^-f(x)=0, ou seja, os limites laterais existem e coincidem, mas f(0)=1, diferente de 0. Assim f não é contínua em 0.

Passo 5

Esse exemplo mostra que ter limites laterais iguais não basta para garantir continuidade: falta checar o valor da função no ponto. Portanto, a afirmativa é falsa.

Resposta

Falsa, pois não basta que os limites laterais coincidam, é preciso também que esse valor seja igual a f(x0). Um contraexemplo é a função f(x)=0 se xneq0 e f(0)=1, onde os limites em 0 coincidem em 0, mas f(0)=1.

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