Em cada item, utilize a transformação dada pelas coordenadas polares para descrever por variação de
e
a região
do plano
.
é a região interna à curva
.
Passo 1
O exercício pede para descrever em coordenadas polares a região interna à curva dada por r=2
cós θ. O conteúdo é mudança para coordenadas polares e vamos precisar entender a geometria dessa curva.
cós θ. O conteúdo é mudança para coordenadas polares e vamos precisar entender a geometria dessa curva.
Passo 2
Transformamos a equação em polares para o plano cartesiano: r=2
cós θ implica r^2=2r
cós θ. Em coordenadas cartesianas isso vira
cós θ implica r^2=2r
cós θ. Em coordenadas cartesianas isso vira
que é a circunferência de centro (1,0) e raio 1.
Passo 3
Para parametrizar em polares, lembramos que r≥0. Da equação r=2
cós θ vem cos θ≥0, ou seja θ deve estar entre -π/2 e π/2.
cós θ vem cos θ≥0, ou seja θ deve estar entre -π/2 e π/2.
Passo 4
Assim, para cada θ no intervalo [-π/2,π/2], o r varia de 0 até a curva r=2
cós θ — cobrindo toda a região interna da circunferência.
Portanto, a descrição em coordenadas polares é: 0 ≤ r ≤ 2
cós θ e -π/2 ≤ θ ≤ π/2.
cós θ — cobrindo toda a região interna da circunferência.
Portanto, a descrição em coordenadas polares é: 0 ≤ r ≤ 2
cós θ e -π/2 ≤ θ ≤ π/2.
Resposta
R = { (r,θ) : 0 ≤ r ≤ 2 cos θ , -π/2 ≤ θ ≤ π/2 }