1. Qual das afirmações abaixo não é válida para uma curva normal?
    a) É assimétrica.
    b) É uma distribuição de probabilidades.
    c) A área total abaixo da curva é igual a 1,0.
    d) A moda, a mediana e a média são iguais.

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual das afirmações abaixo não é válida para uma curva normal?” As opções são:
a) É assimétrica.
b) É uma distribuição de probabilidades.
c) A área total abaixo da curva é igual a 1,0.
d) A moda, a mediana e a média são iguais.
O objetivo é verificar cada afirmação usando as propriedades da curva normal e decidir qual delas é falsa.

Passo 2

Definição e fórmula da curva normal (densidade de probabilidade). A curva normal com média \mu e desvio padrão \sigma>0 tem função densidade dada por
f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\bigg(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\bigg).
Explicando os símbolos:
  • \mu é a média (localização do pico da curva).
  • \sigma é o desvio padrão (mede a largura/espalhamento).
  • f(x) é a densidade de probabilidade; para cada x retorna um valor não negativo tal que áreas sob f correspondem a probabilidades.

Passo 3

Verificar se a curva normal é uma distribuição de probabilidades (opção b).
Para ser uma função densidade de probabilidade, duas coisas são necessárias:
  1. f(x)\ge 0 para todo x. Observa-se pela fórmula que o fator exponencial é sempre positivo e o coeficiente é positivo, então f(x)\ge 0.
  2. A área total sob a curva é 1, ou seja,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Fazendo a mudança de variável z=\dfrac{x-\mu}{\sigma} temos dx=\sigma\,dz e
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-z^{2}/2}\sigma\,dz = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-z^{2}/2}\,dz.
Sabe‑se que \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-z^{2}/2}\,dz=1 (é a normalização padrão da gaussiana). Portanto a curva normal satisfaz as duas condições e, logo, a afirmação b) é válida.

Passo 4

Verificar explicitamente a afirmação c) (área total igual a 1,0).
Do cálculo do passo anterior já se conclui que
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Isto significa que a área total abaixo da curva normal é exatamente 1{,}0. Assim, a afirmação c) é válida.

Passo 5

Verificar a afirmação a) (é assimétrica).
A curva normal é simétrica em torno de x=\mu. Para ver isso, calcule f(\mu+t) e f(\mu-t) para qualquer t:
f(\mu+t)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\bigg(-\frac{(\mu+t-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\bigg) =\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\bigg(-\frac{t^{2}}{2\sigma^{2}}\bigg)
e
f(\mu-t)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\bigg(-\frac{(\mu-t-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\bigg) =\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\bigg(-\frac{t^{2}}{2\sigma^{2}}\bigg).
Portanto f(\mu+t)=f(\mu-t) para todo t, que é a definição de simetria em torno de \mu. Logo a curva NÃO é assimétrica — a afirmação a) é falsa.

Passo 6

Verificar a afirmação d) (moda, mediana e média são iguais).
  • Moda: ponto onde f(x) é máxima. Como o exponencial depende de (x-\mu)^{2}, o máximo ocorre quando (x-\mu)^{2} é mínimo, isto é, em x=\mu. Logo a moda é \mu. Uma forma alternativa é derivar f e achar o ponto crítico; obterá x=\mu.
  • Mediana: valor m tal que \Pr(X\le m)=0{,}5. Pela simetria em torno de \mu, a probabilidade \Pr(X\le \mu) é 0{,}5, portanto a mediana é \mu.
  • Média: o valor esperado é
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Fazendo a mudança z=(x-\mu)/\sigma obtém‑se \mathbb{E}[X]=\mu (o termo simétrico em z cancela). Portanto a média é \mu.
Como moda = mediana = média =\mu, a afirmação d) é válida.

Passo 7

Síntese das verificações:
  • a) “É assimétrica.” → falsa (a curva normal é simétrica).
  • b) “É uma distribuição de probabilidades.” → verdadeira.
  • c) “A área total abaixo da curva é igual a 1{,}0.” → verdadeira.
  • d) “A moda, a mediana e a média são iguais.” → verdadeira.
Logo, a única afirmação que não é válida é a opção a).

Resposta

(a)

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