- Qual das afirmações abaixo não é válida para uma curva normal?
a) É assimétrica.
b) É uma distribuição de probabilidades.
c) A área total abaixo da curva é igual a 1,0.
d) A moda, a mediana e a média são iguais.
a) É assimétrica.
b) É uma distribuição de probabilidades.
c) A área total abaixo da curva é igual a 1,0.
d) A moda, a mediana e a média são iguais.
Passo 1
O enunciado pergunta: “Qual das afirmações abaixo não é válida para uma curva normal?” As opções são:
a) É assimétrica.
b) É uma distribuição de probabilidades.
c) A área total abaixo da curva é igual a .
d) A moda, a mediana e a média são iguais.
a) É assimétrica.
b) É uma distribuição de probabilidades.
c) A área total abaixo da curva é igual a
d) A moda, a mediana e a média são iguais.
O objetivo é verificar cada afirmação usando as propriedades da curva normal e decidir qual delas é falsa.
Passo 2
Definição e fórmula da curva normal (densidade de probabilidade). A curva normal com média
e desvio padrão
tem função densidade dada por
Explicando os símbolos:
-
é a média (localização do pico da curva). -
é o desvio padrão (mede a largura/espalhamento). -
é a densidade de probabilidade; para cada retorna um valor não negativo tal que áreas sob correspondem a probabilidades.
Passo 3
Verificar se a curva normal é uma distribuição de probabilidades (opção b).
Para ser uma função densidade de probabilidade, duas coisas são necessárias:
Para ser uma função densidade de probabilidade, duas coisas são necessárias:
-
para todo . Observa-se pela fórmula que o fator exponencial é sempre positivo e o coeficiente é positivo, então . - A área total sob a curva é
, ou seja,
Fazendo a mudança de variável
temos
e
Sabe‑se que
(é a normalização padrão da gaussiana). Portanto a curva normal satisfaz as duas condições e, logo, a afirmação b) é válida.
Passo 4
Verificar explicitamente a afirmação c) (área total igual a
).
Do cálculo do passo anterior já se conclui que
Do cálculo do passo anterior já se conclui que
Isto significa que a área total abaixo da curva normal é exatamente
. Assim, a afirmação c) é válida.
Passo 5
Verificar a afirmação a) (é assimétrica).
A curva normal é simétrica em torno de . Para ver isso, calcule
e
para qualquer
:
A curva normal é simétrica em torno de
e
Portanto
para todo
, que é a definição de simetria em torno de
. Logo a curva NÃO é assimétrica — a afirmação a) é falsa.
Passo 6
Verificar a afirmação d) (moda, mediana e média são iguais).
- Moda: ponto onde
é máxima. Como o exponencial depende de , o máximo ocorre quando é mínimo, isto é, em . Logo a moda é . Uma forma alternativa é derivar e achar o ponto crítico; obterá . - Mediana: valor
tal que . Pela simetria em torno de , a probabilidade é , portanto a mediana é . - Média: o valor esperado é
Fazendo a mudança
obtém‑se
(o termo simétrico em
cancela). Portanto a média é
.
Como moda
mediana
média
, a afirmação d) é válida.
Passo 7
Síntese das verificações:
- a) “É assimétrica.” → falsa (a curva normal é simétrica).
- b) “É uma distribuição de probabilidades.” → verdadeira.
- c) “A área total abaixo da curva é igual a
.” → verdadeira. - d) “A moda, a mediana e a média são iguais.” → verdadeira.
Logo, a única afirmação que não é válida é a opção a).
Resposta
(a)