1. A produção de determinado produto apresenta distribuição normal. As peças com mais de 22 mm e menos de 18 mm são consideradas defeituosas. O processo atual produz 30 \% de peças defeituosas. Foi proposta a troca por um processo com média de 21 mm e desvio-padrão de 0,9 \mathrm{~mm}. Deve ser feita a troca?
Obs: Realize os cálculos para justificar sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (aqui estão só os dados e o que se pede):
  • Peças com mais de 22\\ \mathrm{mm} e com menos de 18\\ \mathrm{mm} são consideradas defeituosas.
  • O processo atual produz 30\% de peças defeituosas.
  • O processo proposto tem média \mu = 21\\ \mathrm{mm} e desvio-padrão \sigma = 0{,}9\\ \mathrm{mm}.
  • Pergunta: deve ser feita a troca do processo atual pelo proposto? (É preciso justificar com cálculos.)

Passo 2

Entendendo o que devemos calcular (conceito básico, passo-a-passo):
  • A variável de interesse é a dimensão da peça X, que, no novo processo, é assumida normal com média \mu = 21 e desvio \sigma = 0{,}9. Escreve-se isso como X \sim N(\mu,\sigma^2).
  • A probabilidade de uma peça ser defeituosa no novo processo é a soma das probabilidades de ocorrer abaixo de 18 e acima de 22:
P(\text{defeito}) = P(X<18) + P(X>22).
  • Para calcular probabilidades de uma normal qualquer usamos a normal padrão Z\sim N(0,1) e a transformação de padronização (é a fórmula chave):
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui X é a variável original (mm), \mu é a média em mm, \sigma é o desvio em mm, e Z é a variável padronizada (sem unidades) cuja tabela de distribuição acumulada \Phi(z)=P(Z\le z) é conhecida.

Passo 3

Aplicando a padronização nas duas fronteiras 18 e 22.
  • Para 18\\ \mathrm{mm}:
z_{18}=\frac{18-\mu}{\sigma}=\frac{18-21}{0{,}9}=\frac{-3}{0{,}9}=-\frac{3}{0{,}9}.
Fazendo a divisão \dfrac{3}{0{,}9}=\dfrac{30}{9}=\dfrac{10}{3}=3{,}333\ldots, então
z_{18} \approx -3{,}333\ldots
  • Para 22\\ \mathrm{mm}:
z_{22}=\frac{22-\mu}{\sigma}=\frac{22-21}{0{,}9}=\frac{1}{0{,}9}=\frac{10}{9}=1{,}111\ldots
Logo
z_{22} \approx 1{,}111\ldots

Passo 4

Expressando as probabilidades em termos da função de distribuição da normal padrão \Phi:
  • P(X<18)=P\!\left(Z<z_{18}\right)=\Phi(z_{18})=\Phi(-3{,}333\ldots).
  • P(X>22)=1-P(X\le 22)=1-\Phi(z_{22})=1-\Phi(1{,}111\ldots).
Usa-se a simetria da normal padrão para obter \Phi(-a)=1-\Phi(a). Então
\Phi(-3{,}333\ldots)=1-\Phi(3{,}333\ldots).

Passo 5

Obter valores numéricos a partir da tabela da normal padrão (ou calculadora). Valores usados (obtidos da tabela padrão):
  • \Phi(1{,}11)\approx 0{,}8665. Como z_{22}\approx 1{,}111\ldots, podemos usar \Phi(1{,}11) com erro desprezível, então
\Phi(1{,}111\ldots)\approx 0{,}8665.
  • \Phi(3{,}33)\approx 0{,}99957. Para 3{,}333\ldots tomamos \Phi(3{,}33) como aproximação, logo
\Phi(3{,}333\ldots)\approx 0{,}99957.
Agora calculamos cada probabilidade:
  • P(X<18)=\Phi(-3{,}333\ldots)=1-\Phi(3{,}333\ldots)\approx 1-0{,}99957=0{,}00043.
  • P(X>22)=1-\Phi(1{,}111\ldots)\approx 1-0{,}8665=0{,}1335.

Passo 6

Somando as duas partes para obter a taxa total de defeito no novo processo:
P(\text{defeito no novo}) \approx 0{,}00043 + 0{,}1335 = 0{,}13393.
Convertendo para porcentagem:
P(\text{defeito no novo}) \approx 0{,}13393 \times 100\% \approx 13{,}39\%.

Passo 7

Interpretação numérica para a decisão (apenas números e comparação):
  • Taxa de defeito do processo atual: 30\%.
  • Taxa de defeito do processo proposto (calculada): aproximadamente 13{,}39\%.

Resposta

Sim. Taxa de defeito com o novo processo \approx 13{,}39\%, que é menor que 30\%.

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