- A produção de determinado produto apresenta distribuição normal. As peças com mais de 22 mm e menos de 18 mm são consideradas defeituosas. O processo atual produz
de peças defeituosas. Foi proposta a troca por um processo com média de 21 mm e desvio-padrão de
. Deve ser feita a troca?
Obs: Realize os cálculos para justificar sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (aqui estão só os dados e o que se pede):
- Peças com mais de
e com menos de são consideradas defeituosas. - O processo atual produz
de peças defeituosas. - O processo proposto tem média
e desvio-padrão . - Pergunta: deve ser feita a troca do processo atual pelo proposto? (É preciso justificar com cálculos.)
Passo 2
Entendendo o que devemos calcular (conceito básico, passo-a-passo):
- A variável de interesse é a dimensão da peça
, que, no novo processo, é assumida normal com média e desvio . Escreve-se isso como . - A probabilidade de uma peça ser defeituosa no novo processo é a soma das probabilidades de ocorrer abaixo de
e acima de :
- Para calcular probabilidades de uma normal qualquer usamos a normal padrão
e a transformação de padronização (é a fórmula chave):
Aqui
é a variável original (mm),
é a média em mm,
é o desvio em mm, e
é a variável padronizada (sem unidades) cuja tabela de distribuição acumulada
é conhecida.
Passo 3
Aplicando a padronização nas duas fronteiras
e
.
- Para
:
Fazendo a divisão
, então
- Para
:
Logo
Passo 4
Expressando as probabilidades em termos da função de distribuição da normal padrão
:
-
. -
.
Usa-se a simetria da normal padrão para obter
. Então
Passo 5
Obter valores numéricos a partir da tabela da normal padrão (ou calculadora). Valores usados (obtidos da tabela padrão):
-
. Como , podemos usar com erro desprezível, então
-
. Para tomamos como aproximação, logo
Agora calculamos cada probabilidade:
Passo 6
Somando as duas partes para obter a taxa total de defeito no novo processo:
Convertendo para porcentagem:
Passo 7
Interpretação numérica para a decisão (apenas números e comparação):
- Taxa de defeito do processo atual:
. - Taxa de defeito do processo proposto (calculada): aproximadamente
.
Resposta
Sim. Taxa de defeito com o novo processo
, que é menor que
.