1. Duas fábricas produzem o mesmo tipo de circuito integrado. A fábrica A produz circuitos integrados cujo tempo de vida médio é de 12.000 horas, com desvio-padrão de 2.000 horas. Os circuitos integrados produzidos pela fábrica B possuem vida média de 13.000 horas, com desvio-padrão de 1.500 horas. Qual dos circuitos integrados tem maior probabilidade de durar pelo menos 14.000 horas - os produzidos pela fábrica A ou pela fábrica B?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Fábrica A: vida média \mu_A = 12\,000 horas e desvio-padrão \sigma_A = 2\,000 horas.
    • Fábrica B: vida média \mu_B = 13\,000 horas e desvio-padrão \sigma_B = 1\,500 horas.
  • Pergunta: qual dos circuitos (A ou B) tem maior probabilidade de durar pelo menos 14\,000 horas, ou seja, qual tem maior \Pr(X \ge 14\,000).
Obs.: estes são todos os dados relevantes do enunciado.

Passo 2

Assunção razoável para resolver: modelar os tempos de vida por distribuições normais (isso é típico em problemas assim). Portanto, para cada fábrica consideramos uma variável aleatória X com distribuição Normal N(\mu,\sigma^2). Se isso for diferente no enunciado real, não dá para calcular a probabilidade exata sem a lei de probabilidade; aqui assumimos normalidade porque o problema fornece média e desvio-padrão.

Passo 3

Ferramenta que vamos usar — padronização para a normal padrão.
  • A distribuição Normal N(\mu,\sigma^2) tem densidade centrada em \mu e espalhamento dado por \sigma. A probabilidade de interesse \Pr(X \ge x_0) é obtida transformando X em uma variável normal padrão Z.
  • Fórmula de padronização:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z tem distribuição Normal padrão N(0,1). Assim,
\Pr(X\ge x_0)=\Pr\!\left(Z\ge\frac{x_0-\mu}{\sigma}\right)=1-\Phi\!\left(\frac{x_0-\mu}{\sigma}\right),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão: \Phi(z)=\Pr(Z\le z).
  • Explicando de forma simples: calculamos o “z-score” z=(x_0-\mu)/\sigma. Esse z diz quantos desvios-padrão o valor x_0 está acima da média. Depois usamos uma tabela ou calculadora da normal padrão para achar \Phi(z) e então a probabilidade complementar.

Passo 4

Calcular para a fábrica A.
  • Temos x_0=14\,000, \mu_A=12\,000, \sigma_A=2\,000.
  • Calcula-se o z-score:
z_A=\frac{14\,000-12\,000}{2\,000}=\frac{2\,000}{2\,000}=1{,}0.
  • Usando a tabela da normal padrão: \Phi(1{,}0)=0{,}84134.
  • Portanto
\Pr(X_A\ge14\,000)=1-\Phi(1{,}0)=1-0{,}84134=0{,}15866\approx0{,}1587.
Interpretação curta: cerca de 15{,}9\% dos circuitos da fábrica A duram pelo menos 14\,000 horas.

Passo 5

Calcular para a fábrica B.
  • Temos \mu_B=13\,000, \sigma_B=1\,500.
  • Calcula-se o z-score:
z_B=\frac{14\,000-13\,000}{1\,500}=\frac{1\,000}{1\,500}\approx0{,}6667.
  • Usando a tabela da normal padrão: valores conhecidos são \Phi(0{,}66)=0{,}7454 e \Phi(0{,}67)=0{,}7480. Fazendo uma interpolação linear rápida para 0{,}6667 obtemos aproximadamente \Phi(0{,}6667)\approx0{,}7471.
  • Portanto
\Pr(X_B\ge14\,000)=1-\Phi(0{,}6667)\approx1-0{,}7471=0{,}2529.
Interpretação curta: cerca de 25{,}3\% dos circuitos da fábrica B duram pelo menos 14\,000 horas.

Passo 6

Comparação e explicação intuitiva.
  • Resultados numéricos:
    • \Pr(X_A\ge14\,000)\approx0{,}1587 (fábrica A).
    • \Pr(X_B\ge14\,000)\approx0{,}2529 (fábrica B).
  • Conclusão: a fábrica B tem maior probabilidade de produzir um circuito que dure pelo menos 14\,000 horas.
  • Intuição: a fábrica B tem média mais alta ( 13\,000 vs 12\,000) e desvio-padrão menor ( 1\,500 vs 2\,000), ou seja, seus tempos se concentram mais à direita e com menos dispersão — isso aumenta a chance de exceder 14\,000.

Resposta

\Pr(X_A\ge14\,000)\approx0{,}1587
\Pr(X_B\ge14\,000)\approx0{,}2529
Maior probabilidade: fábrica B.

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