- Duas fábricas produzem o mesmo tipo de circuito integrado. A fábrica A produz circuitos integrados cujo tempo de vida médio é de 12.000 horas, com desvio-padrão de 2.000 horas. Os circuitos integrados produzidos pela fábrica B possuem vida média de 13.000 horas, com desvio-padrão de 1.500 horas. Qual dos circuitos integrados tem maior probabilidade de durar pelo menos 14.000 horas - os produzidos pela fábrica A ou pela fábrica B?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Fábrica A: vida média
horas e desvio-padrão horas. - Fábrica B: vida média
horas e desvio-padrão horas.
- Fábrica A: vida média
-
Pergunta: qual dos circuitos (A ou B) tem maior probabilidade de durar pelo menos
horas, ou seja, qual tem maior .
Obs.: estes são todos os dados relevantes do enunciado.
Passo 2
Assunção razoável para resolver: modelar os tempos de vida por distribuições normais (isso é típico em problemas assim). Portanto, para cada fábrica consideramos uma variável aleatória
com distribuição Normal
. Se isso for diferente no enunciado real, não dá para calcular a probabilidade exata sem a lei de probabilidade; aqui assumimos normalidade porque o problema fornece média e desvio-padrão.
Passo 3
Ferramenta que vamos usar — padronização para a normal padrão.
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A distribuição Normal
tem densidade centrada em e espalhamento dado por . A probabilidade de interesse é obtida transformando em uma variável normal padrão . -
Fórmula de padronização:
onde
tem distribuição Normal padrão
. Assim,
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão:
.
- Explicando de forma simples: calculamos o “z-score”
. Esse diz quantos desvios-padrão o valor está acima da média. Depois usamos uma tabela ou calculadora da normal padrão para achar e então a probabilidade complementar.
Passo 4
Calcular para a fábrica A.
-
Temos
, , . -
Calcula-se o z-score:
-
Usando a tabela da normal padrão:
. -
Portanto
Interpretação curta: cerca de
dos circuitos da fábrica A duram pelo menos
horas.
Passo 5
Calcular para a fábrica B.
-
Temos
, . -
Calcula-se o z-score:
-
Usando a tabela da normal padrão: valores conhecidos são
e . Fazendo uma interpolação linear rápida para obtemos aproximadamente . -
Portanto
Interpretação curta: cerca de
dos circuitos da fábrica B duram pelo menos
horas.
Passo 6
Comparação e explicação intuitiva.
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Resultados numéricos:
-
(fábrica A). -
(fábrica B).
-
-
Conclusão: a fábrica B tem maior probabilidade de produzir um circuito que dure pelo menos
horas. -
Intuição: a fábrica B tem média mais alta (
vs ) e desvio-padrão menor ( vs ), ou seja, seus tempos se concentram mais à direita e com menos dispersão — isso aumenta a chance de exceder .
Resposta
Maior probabilidade: fábrica B.